Schwingung kinetische Energie Gleichung

Hallo,
es sollen die Bewegungsgleichungen f=FCr ein gekoppeltes
Schwingungssystem aufgestellt werden.
Auf einem translatorischem System mit Federkonstante c und Masse m was
sich nur hoch und runter bewegen kann, ist ein Dreh-System mit
Federkonstante ct und Tr=E4geitsmoment J, Masse m und einer Zusatzmasse
mz im Abstand a vom Drehpunkt.
Das Bild dazu ist hier.
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hab dazu schon mal die kinetische Energie aufgeschrieben um dann
mit LaGrange Formeln weiterzumachen.
Kann jemand einen Fehler in der Gleichung f=FCr die kin. Energie finden?
Ich bin mir nicht sicher ob die Masse mz mit der Koordinate x2 und x1
richtig verkn=FCpft ist.
Wenn ich damit weiter rechne, kommen seltsame Sachen heraus.
W=E4re sch=F6n, wenn jemand helfen k=F6nnte.
Gru=DF Ludwig
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ludwig
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ludwig schrieb:
Wenn ich die Größen richtig interpretiere, sollte phi nur von x2 nicht aber von x1 abhängig sein, oder?
Gruß, Ralf.
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Ralf Teschenbaum
(...)
Hallo,
ich unterstelle Symmetrie hinsichtlich m1 und m2. Dann seien x1=x1(t) der Weg von m1 und x2=x2(t) der Weg von m2 sowie phi=phi(t) der Drehwinkel jeweils bezogen auf den Massemittelpunkt. Dann ist für kleine Schwingungen der Weg von mz: xz=x2-phi*a.
Anteile aus Eigenträgheitsmoment und Steineranteil scheinen ok zu sein. Mehr habe ich auf die Schnelle nicht gefunden.
Viele Grüße, Alfred Flaßhaar
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Alfred Flaßhaar
Hallo Ralf, der Winkel phi soll nur die Drehung des Drehfedergelenks beschreiben. Die Drehung kann vorhanden sein, wenn x1 vohanden ist (muss aber nicht). Die Verschiebung des Drehfedergelenks soll durch x1 beschrieben werden. L. PS: was ich vergass: nat=FCrlich nur kleine Winkelausschl=E4ge (sin(phi) =3Dphi und cos(phi)=3D1) und alles linear...
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ellka
Hallo Alfred, wenn ich den Winkel mit: (x2-x1)/a annehme w=FCrde mit Deiner Gleichung xz=3Dx2-phi*a=3Dx2-(x2-x1)/a*a=3Dx1 sein. Ich denke das ist falsch, weil ja die mz-Masse sich bewegen kann weil nur gedreht wird (x1=3D0) wird oder nur verschoben. Oder ist das mein Fehler? Gru=DF Ludwig
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ellka
ludwig schrieb:
Was genau ist x2?
ich vermute, dass die Anteile für mz nicht stimmen. Entweder muss im 3.Term x1 stehen, oder der letzte Term muss entfallen.
Mit Gruß E.S.
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Ernst Sauer
x2 soll die Verschiebung der Masse sein-ohne Drehung
Ich vermute auch, aber bin mir nicht sicher.Das ist das Problem. Gibt es so was in einem Lehrbuch schon mal gel=F6st? Ich kenne keins, wo sowas drin ist. Meistens nur die Kopplung zweier Verschiebungen oder gekoppelte Drehungen. Gru=DF Ludwig
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ellka
ellka schrieb:
Die beiden Anteile für mz sollen doch die Translation erfassen.
Wenn gelten soll x2 = x1+a*phi, dann kannst Du die kin. Energie aus der Translation - entweder durch x2 (dann nur Term 3) - oder durch x1 plus phi*a (dann Term 3 mit x1 und Term n) beschreiben.
Mit Gruß Ernst sauer
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Ernst Sauer
ellka schrieb:
Das PS habe ich schon verstanden. In der Kleinwinkelnäherung ergibt sich aber nach meiner Meinung die Beziehung
a * phi = x2
also ganz ohne x1, da der Bezugspunkt für die Drehung das Gelenk cT ist.
Soweit mein Verständnis, Ralf.
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Ralf Teschenbaum
(...)
Deiner Skizze nach zu urteilen unterscheiden sich x1 (Massemittelpunkt von m1) und x2 (Massemittelpunkt von m2) nur um eine Konstante. Der Ansatz phi=(x2-x1)/a ist demnach falsch. Bei Aufgaben dieser Art ist es wichtig, konsequent die Koordinatenbezüge für die Freiheitsgrade zu durchschauen uind durchzurechnen. Am Ansatz xz=x2-phi*a = x1+const. - phi*a sehe ich daher keine Ungereimtheit. Dein System enthält nur zwei Freiheitsgrade, nämlich x1 und phi. Die Wippe m2 ist mit m1 starr gekoppelt.
Wir sollten zunächst klarstellen, was mit x2 gemeint ist - Verschiebung von m2 oder von mz. Das geht aus der Skizze nicht eindeutig hervor.
Viele Grüße, Alfred Flaßhaar
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Alfred Flaßhaar
p. s.
Unter vorgenannten Voraussetzungen erhalte ich für T (Der Strich steht für die Zeitableitung.):
T=m1/2*x´^2+m2/2*x1´^2+mz/2*(x1´-a*phi´)^2+I/2*phi´^2+Iz/2*phi´^2+mz/2*a^2*phi´^2
Dabei habe ich gesetzt:
x2=x1+x0 xz=x1+x0-phi*a
Hoffentlich habe ich mich nicht vertippt.
Gruß, Alfred
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Alfred Flaßhaar
Danke f=FCr die bisherigen Meinungen. Mein Problem liegt in der Verbindung zwischen Winkel und mz- Translation x2.
Gedacht war, dass x2 die Bewegung nur von mz beschreibt. Alle anderen Massen bewegen sich auf x1. Die konstante Verschiebung zw. x1 und x2 nehme ich als bedeutungslos an, setzte sie also 0.
Ich habe die Bemerkung von Ernst versucht einzuarbeiten und bin auf einen Widerspruch in den Gleichungen A und B gesto=DFen. (hier der neue link:
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) Habe ich mich verrechnet?
an Alfred: Gilt mit den jetzt vielleicht besser beschriebenen x2 phi-Problem Deine Gleichung von oben noch, oder welche Voraussetzungen ast Du gemeint?
Gru=DF Ludwig
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ellka
ellka schrieb:
formatting link
)
Nein.
Beim genaueren Hinsehen sieht es für mich so aus: A ist falsch, B richtig.
Bei A wurde die Geschwindigkeit von mz in 2 Anteile aufgespalten und diese Anteile wurden dann getrennt quadriert, das ist natürlich nicht richtig.
Wenn gilt v = v1 + v2 dann gilt nicht v² = v1² + v2²
Mit Gruß E.S.
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Ernst Sauer
(...)
(...)
...ja, nur wenn Iz das Trägheitsmoment von mz bezogen auf die Achse durch den Schwerpunkt/Massemittelpunkt von m1 und m2 ist. Andernfalls (wenn Iz das Eigenträgheitsmoment von mz ist) fehlt der "Steineranteil" mz*a^2*phi´^2/2 von mz.
Interessant zu erfahren wäre noch:
Wie sieht U in der L-Funktion L=T-U aus? Und dann steht auf dem Berechnungsmodell noch eine Last F herum...?
Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar
p. s. Ich habe Probleme mit der Darstellung von Sonderzeichen im Textformat. Welcher Zeichensatz sollte eingestellt werden?
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Alfred Flaßhaar
Dieser Anteil steht ja in der Gleichung (B)
Mit sonntäglichem Gruß Ernst Sauer
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Ernst Sauer
Der Anteil sollte bereits in der zweitletzten Zeile vor (B) enthalten/ausgewiesen sein. Dort sind die Anteile aus kinetischer Energie infolge Translation x1 für m1 und m2 und draufgesetztem kleinen Kreisbogen im Weg x1+a*phi für mz. Bei vorausgesetzter kleiner Schwingung ist letzteres (Gleichheit von Bogen und Sehne und cos(phi)~1) eine vertikale Translation. Die Anteile aus Rotation phi enthalten im Ansatz die Trägheitsmomente I und Iz. So wie es in dieser zweitletzten Zeile vor (B) aufgeschrieben steht und wenn (B) korrekt ist, muß demnach Iz das Eigenträgheitsmoment und den Steineranteil enthalten. In (B) hat sich in diesem Fall (Iz enthält den Steineranteil) aber trotzdem ein expliziter Steineranteil für mz ergeben, obwohl er bereits in Iz enthalten ist. Aber bestimmt habe ich an der Aufgabe etwas falsch verstanden.
Freundliche Restsonntagsgrüße und fröhliches Gärtnern bei dem schönen Wetter, Alfred Flaßhaar
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Alfred Flaßhaar
Hallo danke f=FCr die Beitr=E4ge. Wenn ich es richtig vertsanden habe, herrscht Konsens, dass die L=F6sung B richtig ist. K=F6nnte ich mir auch vorstellen. Zum Problem "Steineranteil von mz" bzw. Verst=E4ndnis der Aufgabe.
Hintergrund ist die Berechnung eines starr gekoppelten Dreh- Translationssystem, wie das Modell darstellt. Auf den oberen Drehbalken, kann extern ein Gewicht aufgelegt werden (im Abstand a, die Kraft F) und das System beginnt zu schwingen und hat Eigenfrequenzen, die interessant sind. Die wollte ich in Abh=E4ngigkeit von a berechnen. Zur Messung der Schwingung an der Position a kann ich einen Abstandssensor nehmen, der gegen=FCber dem Festpunkt misst. Deshalb habe ich die (zun=E4chst verwirrende) Koordinate x2 eingef=FChrt). Zur Gleichungsaufstellung ist es aber mit Winkel phi und x1 wohl =FCbersichtlicher.
Nach meiner Vorstellung ist J die Drehtr=E4gheit des Balkens (symmetrisch) m2 die Eigenmasse des Balkens (Schwerpunkt nicht au=DFerhalb der Translation) m1 die Eigenmasse der Feder c (m1 und m2 h=E4tte man zusammenfassen k=F6nnen, denke ich) c die Translationsfederkonstante ct die Drehfederkonstante mz die Masse des au=DFermittig positionierten K=F6rpers Jz die Drehtr=E4gheit des au=DFermittig positionierten K=F6rpers um seinen eignene Schwerpunkt!
Ich will also unterscheiden, ob ich 1kg in 1m Entfernung als Stahl- Quader hochkant oder flach auflege. Nach meiner Auffassung ist mz*a^2 ist der au=DFermittige Anteil der Punktmasse. Jz die Drehtr=E4gheit des K=F6rpers um seinen Schwerpunkt. Die ist anders, ob ich den Quader hochkant oder flach im Abstand a positioniere. Vernachl=E4ssigt habe ich nat=FCrlich, dass der Massenschwerpunkt von mz nicht im Quer-Abstand a wirkt, sondern auch einen senkrechten Abstand nach oben hat, das sehe ich ein. Aber fehlt immer noch ein Steineranteil?
Gru=DF Ludwig
Ach so, weiterrechnen wollte ich mit der potentiellen Energie: U=3Dc/2*x1^2+ct/2/phi^2=3Dc/2*x1^2+ct/2/a^2*(x2-x1)^2 Hier hatte ich noch keine Probleme gesehen, oder ist da auch ein Fehler drin?
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ellka
ellka schrieb:
Vielleicht kann man das vernachlässigen, vielleicht auch nicht, hängt von den Zahlenwerten ab.
Nein, man kann es ja nachrechnen.
o-----a------o | | v1 | o | v2 * mz
Ich betrachte die folgende geführte Bewegung der Masse mz (die anderen Anteile sind ja unstrittig). - der linke Punkt o soll sich sich mit 1 m/s, - der rechte Pkt. * (die Masse mz) mit 2 m/s nach unten bewegen.
Der Einfachheit halber setze ich a=1, mz=1
Es gilt dann (mit '=d/dt): x1' = 1 m/s, x2'= 2 m/s , phi' = (2-1)/1 = 1 1/s
Die kinetische Energie aus Translation von mz beträgt mit x2' ermittelt ET = 1/2*1*x2'² = 2 (aus Rotation ER = 1/2*Iz*phi² (Iz=Eigenträgheitsmoment))
Jetzt wird gesetzt x2 = x1 + phi *a daraus x2'= x1'+ phi'*a Die kinetische Energie aus Translation ist dann ET = 1/2*mz*(x1'+phi'*a)² = 1/2*mz*(x1'² + 2*x1'*phi'*a + phi'²*a²) = 1/2*1* (1² + 2*1 *1 *1 + 1² *1²) = 2 (wie oben) aus Rotation ebenfalls wie oben.
Passt also.
Mit Gruß Ernst Sauer
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Ernst Sauer
(...)
Habe nochmals nachgerechnet bis in die Eulerschen Gleichungen. Bei kleinen Schwingungen ergibt sich die Kopplung von Translatation und Rotation der Masse mz gewissermaßen automatisch. Das hatte ich übersehen. Gleichung (B) ist also Ernsthaft korrekt.
Viele Grüße, Alfred Flaßhaar
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Alfred Flaßhaar

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