Seil vom Boden aufheben

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begin quoting, Heiner Veelken schrieb:

Ich weiß, worum es geht, aber blöderweise nicht, wie das heißt.

Es geht darum, daß man einen unendlich dünnen biegeschlaffen Faden (Seil, Kette, ...) der Masse M und der Länge L, also der Massenbelegung m = M/L, zu einem unendlich kleinen Punkt auf dem Boden zusammengeknüllt vorliegen hat. Jemand nimmt ein Ende dieses Fadens und hebt es mit der konstanten Geschwindigkeit v senkrecht an bis zur Höhe H = L.

Dann wird gefragt,

1. welche Energie dabei aufgewendet wurde, und
2. welche Energie nun in dem Faden steckt, und
3. wo denn die restliche Energie geblieben ist.
4. Zum Zeitpunkt t wurde das Ende bis auf die Höhe h(t) = v * t angehoben. Um es ein weiteres infinitesimales Stück dh = v * dt anzuheben, ist folgende Leistung erforderlich:

Anheben des aufgerichteten Seilstücks mit der Masse

M(t) = m * h(t) = m * v * t

erfordert die Energie

dW_pot = F * dh = (m * g * v * t) * (v * dt) = m * g * v^2 * t * dt

(die Kraft nimmt linear mit der Zeit zu)

und Beschleunigen eines noch auf der Unterlage liegenden Stückchens der Länge dh auf v erfordert die kinetische Energie

dW_kin = 1/2 * dm * v^2 = 1/2 * m * dh * v^2 = 1/2 * m * v * dt * v^2 = 1/2 * m * v^3 * dt

(die Kraft ist konstant)

=>

dW = dW_pot + dW_kin = m * v^2 * (g * t + v/2) * dt

und die Leistung

P(t) = d/dt W = m * v^2 * (g * t + v/2)

Die aufgewendete Energie ist

W = Int(P(t) * dt, t = [0 .. L/v]) = m * v^2 * [g/2 * (L/v)^2 + v/2 * (L/v)] = M/L * v^2 * L * [g * L / v^2 + 1] / 2 = M/2 * [g * L + v^2]

1. Nach dem Anheben hat der Faden die potentielle Energie

W_pot = M * g * L/2

und die kinetische Energie

W_kin = M/2 * v^2 ,

also

W_ges = W_pot + W_kin = M/2 * [g * L + v^2]

Und hier muß ich irgendwo den Gag vergessen haben, das ist nämlich dasselbe.

(Ich muß die Hubkraft falsch berechnet haben, denn im Original der Aufgabe bekommt man eine höhere aufgewendete Energie beim Anheben, wobei die Differenz dann in Form innerer Energie im Faden steckt.)

Gruß aus Bremen Ralf

Moin,

Ralf . K u s m i e r z schrub:

Du rechnest komisch...

l=Länge der Kette h=aktuelle Höhe m=Gesamtmasse der Kette

Die momentane Kraft ist dann: F=m*g*h/l (für h = 0...l) Aufzuwendende Energie ist das Integral aus Kraft über Weg: E = int_0^l mgh/l dh = mg/l * 1/2l^2 = 1/2 mgl

hmm, auch da liegt der Gag nicht.

CU Rollo

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begin quoting, Roland Damm schrieb:

???

Und was ist mit der Beschleunigung?

Das wurde mal in d.s.p. abgehandelt, aber ich erinnere mich nicht mehr genau.

Gruß aus Bremen Ralf

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begin quoting, Heiner Veelken schrieb:

Gruß aus Bremen Ralf

Ich danke Dir. So weit zurück bin ich nicht gegangen. Dann werde ich mir das mal genauer ansehen.

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begin quoting, "Ralf . K u s m i e r z" schrieb:

So, nachdem ich nun den alten d.s.p.-Thread wiedergefunden habe, mache ich mich dann mal ans Fehlerkorrigieren.

Soweit ist das richtig.

Aber das ist falsch, weil es das zu Zeigende schon voraussetzt.

Der Ansatz ist, daß der Impuls

p(t) = M(t) * v = m * v^2 * t

ist; die Kraft ist

F(t) = d/dt p = m * v^2 = F (= const.)

Und daraus kriegt man für den aufzuwendenen Energieanteil für die Beschleunigung auf v

W_acc = F * L = M * v^2 ,

und das ist doppelt soviel wie die kinetische Energie

W_kin = = M/2 * v^2 ,

die bei voller Länge L im aufgerichteten Seil steckt.

Gruß aus Bremen Ralf