Bockwurstformel

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Moin!
Ich habe gerade einen begrifflichen Knoten bei der Kesselformel.
(Ganz einfach herleitbar: Ein dünnwandiges zylindrisches Rohr steht
unter Innendruck - wie verhalten sich Tangential- und Axialspannung?
Lösung:
Axialspannung:
Der Innendruck übt auf die Wand (indirekt) eine Zugspannung aus. Die
Zugkraft ist proportional zur Querschnittsfläche des Rohrs, und die
ist Pi*r^2. Diese Kraft wird von der Umfangslänge der Rohrwand
aufgenommen, und die ist 2*Pi*r. Daraus ergibt sich eine Zugspannung
sigma_A ~ (Pi*r^2)/(2*Pi*r) = r/2
Tangentialspannung:
Man betrachtet ein Rohrstück der Länge dL und schneidet es der Länge
nach auf. Dioe Querschnittsfläche von der Achse bis zum Rand ist r*dL,
aufgenommen wird die Kraft von der Werkstofflänge dL. Daraus ergibt
sich eine Zugspannung
sigma_T ~ r*
dL/dL = r
Mithin ist die Tangentialspannung doppelt so hoch wie die
Axialspannung, und deswegen bersten Rohre (und Bockwürste) unter Druck
durch die Entstehung von Längsrissen.)
Soweit alles klar.
Nun wird argumentiert, daß bei einer Kugel keine Tangentialspannungen
existierem, sondern aus Symmetriegründen nur "Axialspannungen", also
wird die gleich starke Kugelwand nur halb so hoch belastet wir die
Rohrwand.
Und nun mein Vertändnisproblem:
Ich nehme einen Kugelkessel, schneide den am Äquator durch und füge
dort einen ganz kurzen zylindrischen Ring ein.
Und nun soll plötzlich an dem Ring die Spannung einen Sprung auf den
doppelten Wert gegenüber den Kugelkappen direkt daneben machen?
Kann mir mal jemand vom Schlauch helfen?
Gruß aus Bremen
Ralf
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Ralf . K u s m i e r z
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Die Spannung ist nur im Zylinder doppelt so hoch. Bei kleinem und langsam wachsendem Zylinderstück wächst sie langsam. Sie ist nur im unendlich langen Rohr wirklich doppelt so hoch, wie die Ableitung sagt.
:°) Carsten
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Carsten Thumulla
Am 04.08.2011 18:48, schrieb Ralf . K u s m i e r z:
...
Zunächst ist folgendes anschaulich klar: Die Kraft p*dA die auf ein kleines Schalenelement wirkt, wird in Membrankräfte umgelenkt. Hat man nur in einer Richtung eine Krümmung (einen kleinen Knick) dann kann die Kraft nur in eine Richtung umgelenkt werden. Hat auch die andere Richtung eine Krümmung, geht ein Teil der Kraft auch in die andere Richtung. Man kann dann im Prinzip 2x die Kesselformel ansetzen.
Folgendes ist auch anschaulich klar: Fügt man einen kurzen Ring ein, dann ist die Ringaufweitung des Zylinders nicht identisch mit der Aufweitung der Kugel an dieser Stelle. Man hat einen Störbereich und muss diesen näher untersuchen.
Gruß E.S.
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Ernst Sauer
Ralf . K u s m i e r z:
Die Argumentation ist unschlüssig. Lass den Faktor 2 in Zähler und Nenner drin, dann kommt das gleiche raus, die Herleitung wird stimmig, und passt auch schön zur Darstellungen bei der Axialspannung.
Also ein zylindrisches Rohr der Länge L, das an den Enden mit jeweils einer Halbkugel mir Radius r abgeschlossen ist. Der Längsschnitt hat also die Form eines Rechtecks, an das auf zwei gegenüberliegenden Seiten Halbkreise angesetzt sind. Die Tangentialspannung ergibt sich mit der von Dir verwendeten Schreibsweise dann also zu
sigma_T = (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L)
Gruss
Jan Bruns
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Jan Bruns
Am 08.08.2011 15:50, schrieb Jan Bruns:
Falsch, denn die Spannungen sind in der von Dir betrachteten Fläche nicht konstant. Gruß E.S.
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Ernst Sauer
Am 04.08.2011 19:20, schrieb Carsten Thumulla:
Drum platzt die Wurst*) in der Mitte.
*
) Von Bockwürsten weiß ichs nicht (wissenschaftlich) sicher, weil ich keinen so großen Topf habe. Aber meine Weißwürste müßten den gleichen physikalischen Gesetzen gehorchen.
Verwirrend: Käsekrainer reißen häufig quer, ich habe noch nicht rausgefunden, was die Käseeinschlüsse an der Physik ändern. Ein furchtbares Bild, die geknickte Wurst :-(
GL
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Franz Glaser
Ernst Sauer:
Eigentlich doch, meine ich. Egal. Die Fläche ist ja eh' nur mir dem drucktragenden Medium gefüllt.
Die Argumentation ist schlicht die, die Ralf schon für die axiale Spannung beschrieben hat:
Die Schnittfläche teilt das Volumen mit dem Medium unter Druck in zwei Teile. Der Druck bewirkt eine auf die Schnittfläche senkrecht gerichtete Kraft, eine Zugspannung, und ist prinzipiell erstmal unabhängig von den beiden sich an die Schnittfläche anschliessenden Formen, sondern hängt nur von der Fläche und der Druckdifferenz von Medium zu Aussenbereich ab.
Diese Zugkraft lastet dann gemäss Ralfs Modell normal auf einen Begrenzungspfad in der Schnittfläche. Vielleicht nicht notwenigerweise auf diesen Pfad exakt gleichmässig verteilt. Meintest Du das?
Gruss
Jan Bruns
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Jan Bruns
Ralf . K u s m i e r z schrieb:
Hallo,
die Formeln gelten sicher für einen zylindrischen Kessel mit genügender Länge, also wenn l groß gegenüber r ist. Für den kurzen zylindrischen Ring müssen sie ja nicht gelten, denn dort kann die Tangentialspannung noch auf die eng benachbarten Halbkugeln ausweichen. Aber wenn man einen möglichst leichten Druckbehälter braucht, dann ist eben doch eine perfekte Kugel die beste Form. Eine Kugel mit einer kleinen Rille um den Äquator ist dann schon schlechter, ebenso die mit dem kurzen Zylinder verlängerte Kugel. Durch Berstdruckproben würde man feststellen das die Druckfestigkeit mit zunehmender Länge des zylindrischen Stücks immer mehr sinkt und sich ein gleichmäßiger Verlauf ohne Sprung ergibt. Dabei würde man auch feststellen das die Längsrisse immer in der Mitte des zylindrischen Teils beginnen, jedenfalls in deutlicher Entfernung zu den Kugelkappen.
Bye
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Uwe Hercksen
Man braucht sich nur mal den Spannungsverlauf am Bockwurstende klarzumachen. Änderung von 1:2
ct
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Carsten Thumulla
Am 08.08.2011 23:25, schrieb Jan Bruns:
...
Vielleicht nicht
Ja. Der Zähler Deiner Formel liefert die resultierende Zugkraft, die stimmt. Aber in einem exakt geraden dünnwandigen Zylinder ist die Zugkraft in Umfangsrichtung (Tangentialspannung gefällt mir nicht) n_phi=p*r (p Kraft/Fläche, n=Kraft/m) Diese Gleichung ergibt sich aus einer Gleichgewichtsbetrachtung am Element der Länge ds bzw. dL. Die Gleichgewichtsbetrachtung für die gekrümmten Enden der Wurst sagt aus, dass n_phi dort in jedem Fall kleiner ist.
Bei einer Halbkugel gilt ja n_phi = p*r/2
Dies führt zu unverträglichen Ringaufweitungen an der Schnittelle Zylinder/Halbkugel. Man bekommt einen Störbereich und die Halbkugel bekommt die Form einer rotationssymmetrischen Ellipse. Wie es genau aussieht hängt von der konkreten Geometrie und auch von der Dicke t ab. Bei einer ellipsenförmigen rotationssymmetrischen Schale bekommt man bei n_phi sogar einen Vorzeichenwechsel innerhalb der Schale.
Gruß E.S.
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Ernst Sauer
Am 09.08.2011 11:55, schrieb Uwe Hercksen:
Ob kurz oder lang, wenn es wirklich ein Zylinder ist, gilt n_phi=p*r. Schubspanngen gibt es in der Ringfläche nicht, denn die haben keine Rotationssymmetrie. Es gibt nur n_s und n_phi, die stehen senkrecht aufeinander und lassen sich alleine aus den Gleichgewichtsbdingungen bestimmen. Kurz oder lang spielt bei der Betrachtung des Störbereiches eine Rolle und dünn oder dick beeinflusst den Verlauf der Spannungen innerhalb des Querschnitts (konstant oder nicht).
Gruß E.S.
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Ernst Sauer
Ernst Sauer:
Warum aber?
(%i2) limit( (PI*r^2 + 2*L*r) / (2*PI*r + 2*L) ,L,inf); (%o2) r
Gruss
Jan Bruns
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Jan Bruns
X-No-Archive: Yes
begin quoting, Franz Glaser schrieb:
Bohlen?
Gruß aus Bremen Ralf
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Ralf . K u s m i e r z
Am 09.08.2011 15:40, schrieb Jan Bruns:
Die Formel enthält die Annahme einer konstanten Spannung in der Schnittfläche. Was hilft da eine Grenzwertbetrachtung? Wenn Du nachweisen willst, dass die Formel richtig ist, musst Du nachweisen, dass in jedem beliebig kleinen Element Gleichgewicht herrscht und die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt sind. Gleichgewicht muss zu 100% und nicht zu 99,99% erfüllt sein (nur den FEM-Spezis ist es erlaubt, die Gleichgewichtsbedingungen lokal zu verletzen).
Gruß E.S.
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Ernst Sauer
Ernst Sauer:
Die beiden Grenzwerte (L=>0 und L=>inf) sind doch gerade das richtige daran. Der Rest dazwischen ist in der Tat nur Näherung.
Oder ich verzichte einfach weiterhin auf die Aussage, die Formel gälte für Punkte bzw. infinitesimal kleine Flächensegmente. Man kann die aber doch verwenden, um sich einen Überblick darüber zu verschaffen, wie es in der Summe aussehen muss. Wenn Du auf eine Waage steigst, interessiert Dich ja wahrscheinlich auch nur das Endergebnis, und eher nicht, wie sich deine Gewichtskraft auf deine Füsse verteilt.
Gruss
Jan Bruns
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Jan Bruns
"Ralf . K u s m i e r z" schrieb im Newsbeitrag news: snipped-for-privacy@mid.uni-berlin.de...
Ja, plötzlich!
Ich habe jetzt erst - leider - den sehr interessanten Beitrag von Ralf entdeckt. Und ich habe mir Gedanken gemacht - vielleicht will die noch jemand mit mir diskutieren. Das Ergebnis war: Unter der (theoretischen) Annahme, dass jenes bockwurstförmige Gebilde sich unter der Spannung NICHT verformt, also seine "ideale" Form beibehält (und sehr dünnwandig ist), ergibt sich, dass die Spannung an den halbkugelförmigen Endstücken (wie schon gesagt) die Hälfte von der im Zylinderbereich ist. Die Spannung ergibt sich dabei aufgrund der Krümmung(!) - ob eine Dimension bzw. zwei.
Und da der Übergang der Krümmung von der mit einer Dimension (Zylinderstück) zu der mit zwei Dimensionen (Endstück) sprunghaft ist, wird (so meine Behauptung) die Spannung an der Übergangsstelle auch sprunghaft um den Faktor 2 sinken.
Was meint Ihr dazu?
Gruß Manfred
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Manfred Ullrich
Am 10.10.2011 10:26, schrieb Manfred Ullrich:
Sie ist eben nicht sprunghaft. Habe ich das nicht geschrieben?
Sie ist nur im unendlichen Rohr doppelt so hoch wie in der Kugel. An den Enden einer Bockwurst muß es eine Übergangsfunktion geben.
Carsten
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Carsten Thumulla
"Carsten Thumulla" schrieb im Newsbeitrag news:4e92ca7c$0$6640$ snipped-for-privacy@newsspool2.arcor-online.net...
Doch, das hattest Du geschrieben, aber da bin ich eben anderer Ansicht.
Keineswegs muss das Rohr dafür unendlich lang sein.
Nicht bei der idealen "Bockwurst", soll heißen: Sehr dünnwandig, vernachlässigbare Verformung durch die Spannung.
Gruß Manfred
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Manfred Ullrich
Am 10.10.2011 12:49, schrieb Manfred Ullrich:
Doch, ein Rohr ist der Grenzfall in der Übergangsfunktion.
Unsinn, Bockwurst sagt nichts über das Material aus.
Carsten
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Carsten Thumulla
Am 10.10.2011 10:26, schrieb Manfred Ullrich: ...
Du hast Probleme mit den einfachsten Dingen der Mechanik: mit Schnittprinzip und Gleichgewicht. Sorry, aber man muss das so deutlich sagen, denn ähnliches hatten wir schon mal.
Nichts für ungut E.S.
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Ernst Sauer

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