Druck auf Förderbandtrommel

Hi!
Vorsicht: Lang - Die Lösung steht ganz unten, sogar drei Varianten davon. Leider drei unterschiedliche, und das ist mein Problem :)
Ich arbeite gerade daran, den Druck eines Bandes auf die Trommel zu berechnen. Gegeben ist ein gespanntes F√∂rderband, dass eine frei drehbare Trommel zu 180¬į umschlingt. Da √ľber die Trommel keine Momente √ľbertragen werden, ist die Spannkraft entlang des Bandes konstant und √ľbt auf die Trommel einen radial gerichteten, √ľber die Oberfl√§che konstanten Druck aus. Der Zusammenhang zwischen Druck und Bandspannkraft ist gesucht.
A) Ich hatte schon vor zwei Monaten einen Thread angerissen, damals d√ľrfte mir ein Fehler unterlaufen sein. Die Annahme war √§hnlich der Kesselformel ein konstanter Innendruck und ein Kr√§ftegleichgewicht bei der Schnittebene entlang des Druchmessers, welcher normal zur √§usseren Bandspannkraft steht. 2*F,spann = p*A = p*b*d
B) Der Druck ist zwar konstant entlang der Trommel, aber kein Innendruck wie bei der Kesselformel, der auch bei der Projektionsfl√§che gleich ist. Meine neue Version setzt in obiges Gleichgewicht statt einem konstanten Druck nur jene Richtungskomponente ein, die der Bandspannkraft entgegen wirkt, die andere Komponente "quetscht" die Trommel als innere Kraft zusammen, scheint aber im Gleichgewicht nicht auf. Mit Skizze l√§sst sich leicht der Zusammenhang p = p,max * sin(arccos(x/r)) nachpr√ľfen, wobei x entlang dem obigen Schnittebenendurchmesser verl√§uft, und zwar von -r bis +r. Das Gleichgewicht ist nun 2*F = b * p,max * Int(sin(arccos(x/r)))dx von -r bis +r. Das l√∂st sich zu 2*F = p* b*d*Pi/4.
C) Als Werte habe ich bei den analytischen Rechnungen nach erster Version p,max = 0,125 N/mm^2, nach neuer Version 0,159 N/mm^2. Zudem kommt noch eine FEA-Analyse hinzu, die eigentlich von dieser Rechnung weiterf√ľhren sollte. Hier wird ein Druck auf die Trommel aufgebracht, die Trommelachse ist beidseitig als Auflager eingespannt. Die resultierende Auflagerkraft m√ľsste daher bei korrekt gew√§hltem Druck der f√ľr obige Werte zugrunde liegende Bandspannkraft entsprechen. Als notwendigen Druck zeigt sich hier 0,131 N/mm^2.
Drei Wege, drei Lösungen - das irritiert mich etwas :)
HC
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Momente
bei
äusseren
Das muss die richtige Lösung sein. Die Bandspannkraft ist ja umlaufend konstant. Wenn ich dann in dem Halbkreis an beliebiger Stelle ein beliebig kleines Element herausschneide, dann sind die Verhältnisse an jeder Stelle die gleichen, also muß der Rollendruck auch an jeder Stelle gleich sein.

Und wer/was berechtigt Dich zu dieser Annahme? Hast Du z.B. gepr√ľft, ob das herausgeschnittene Seil dann momentenfrei ist?

Da m√ľ√üte man sich die FEM-Rechnung anschauen, wie das modelliert ist. Traue keiner FEM-Rechnung. In FEM-Rechnungen werden oft die Gleichgewichtsbedingungen verletzt.

Regt die Gehirnzellen an.
Mit Gruß E. Sauer
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Ernst Sauer wrote:

Davon war ich damals auch √ľberzeugt, aber beim Aufarbeiten bin ich gestern auf eine Schw√§che in der √úberlegungsfolge gestossen.
Der Anpressdruck des Bandes auf die Rolle ist an jeder Stelle auf der gleich, aber er ist stets zum Trommelmittelpunkt gerichtet, wie das Kr√§ftegleichgewicht an einem Seil- oder Bandst√ľck zeigt. D.h. neben den zwei Stellen, wo das Band von der Trommel abhebt liegt zwar der konstante Druck an, ist aber fast 90¬į zur Bandspannkraft gerichtet.
Daher war meine √úberlegung: Dieser Druck kann doch nicht voll in ein skalares Gleichgewicht eingehen, wie es z.b. entsprechend der Kesselformel w√§re. Ich glaube, dass nur die Komponente, welche gegen die Richtung der Bandspannkraft wirkt in dieses skalare Gleichgewicht eingeht, d.h. nennen wir sie Horizontalkomponente, ausgehend von einem horizontalen Bandf√∂rderger√§t. Diese Horizontalkomponente beginnt dann am oberen Punkt der Trommel bei 0, erreicht in der Mitte ein maximum und sinkt dann wieder auf 0, das Integral davon √ľber die Fl√§che ergibt mir die Variante B, w√§hrend sich die die Vertikalkomponenten als unter innerer Verspannung der Trommel gegenseitig aufheben.
In der Rechnung ändert dies bei gleichen Parametern den Anpressdruck um den Faktor Pi/4, bzw. eben von 0,125 auf 0,159 N/mm^2, bei einem Rollendurchmesser von 320mm und einer Bandspannkraft von beidseits 5kN.

Hehe, ja :)
HC
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damals
der
einem
ergibt
unter
Beim schnellen Durchlesen sehe da keinen Fehler in Deinen √úberlegungen, also pr√ľf mal Deine Integration. Integrierst Du wirklich √ľber den Umfang und nicht etwa √ľber eine Projektionsl√§nge.

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Ernst Sauer wrote:

Du hast recht, das Integral geht √ľber die Projektionsl√§nge.
Ich war der Meinung, das m√ľsste auch reichen, meine Mathematikvorlesungen liegen doch schon bald 10 Jahre zur√ľck. :)
HC
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Hans-Christian Grosz wrote:

Als Nachtrag f√ľr eventuelle Mitleser *g*: Ich habe mein aktuelles Problem wohl unn√∂tig schwieriger gemacht, in dem ich die Kr√§fte auf der Trommel betrachtet habe, welche unter einem Druck von aussen steht.
Betrachte ich statt dessen das Band, dass entsprechend einem Innendruck ausgesetzt ist, so läuft die Sache wieder eindeutig auf die Kesselformel hinaus.
Diesen Unterschied hatte ich wohl vergessen, daher war meine Rechnung bzw. der Thread vom Juni nicht gleich nachvollziehbar.
HC
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Nochmaös Hallo,
Habe das System mit meinem Programm www.prostab.de mal als 2-dimensionales Stabtragerk nachgerechnet:
- halbkreisförmiger Stabzug mit mehreren Punkten - Lagerung der Punkte mit nahezu starren Dehnfedern (nur) in radialer Richtung
Ergebnis: Die Federkraft ist an jeder Stelle die gleiche (Randpunkte mit halber Federkraft). Also gilt die Kesselformel!
Nochmals mit Gruß E. Sauer
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Ernst Sauer wrote:

Ich bin nachwievor nicht √ľberzeugt. Den ersten Teil bez√ľglich Federkraft/Anpressdruck seh ich unbestritten genauso.
Aber die Kesselformel - so ich sie richtig verstehe - geht von einem Innendruck aus, der an jeder Stelle konstant ist, auch an der Schnittebene entlang einem Durchmesser. In meinem Fall ist die Trommel innen allerdings leer. W√§hrend bei Fl√ľssigkeitsdruck der Druck immer normal zu einer Oberfl√§che steht, fehlt hier also dieses Fluid.
Daher folgt meine Betrachtung, dass ich - bildlich beschrieben - den Druck √ľber den Halbkreis wie eine Menge vieler kleiner Kr√§fte ansehen muss, die alle radial zum Trommelzentrum wirken. Demgegen√ľber steht nun die Bandspannkraft bzw. Wellenlagerreaktionskraft, welche in "horizontaler" Ebene gerichtet sind. Daher m√ľsste ich doch von der erw√§hnten Menge kleiner Kr√§fte lediglich die Horizontalkomponente nehmen, um diese dann in Summe der Bandspannkraft im Kr√§ftegleichgewicht entgegenzusetzen.
HC
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genau, und exakt so wie bei einer starren Umlenkrolle.

Richtig, deshalb kann man die Kesselformel sofort hinschreiben.

Daf√ľr hast Du die Lagerkraft und die als starr angenommene Umlenkrolle (-trommel) sorgt daf√ľr, dass die Lagerkraft in einen konstanten Druck umgesetzt wird.

Na und, starr ist starr.

Richtig und genau so ist es auch bei der Fl√ľssigkeit.

Das kannst Du ja tun, allerdings brauchst Du vorher eine Aussage wie der Druck verteilt ist. Wenn Du einen konstanten, radial gerichteten Druck annimmst und richtig √ľber den Umfang integrierst, dann wirst Du mit der Rechnung die Kesselformel best√§tigen. Dass der Druck konstant ist, kannst Du (mu√üt Du) an einem infinitesimal kleinen Element ausrechnen, oder einfach sagen: an jedem beliebig herausgeschnittenen Element sind die Seilkr√§fte gleich und der Radius ist gleich, also mu√ü auch der radiale Druck in jedem Element gleich sein.
Mit Gruß E. Sauer
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Ernst Sauer wrote:

Auch wenn sie innen hohl ist? Durchmesser ist 320, Wandstärke ca. 20, der Innenraum ist unter hohl, bei Atmosphärendruck.
Aber gut, ich verwerfe wohl meine gestrige Idee und bleib beim urspr√ľnglichen, also der Kesselformel. Danke f√ľr die Antworten :)
HC
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es gilt p=Z/r
r kann sich durch die Verformung vielleicht √§ndern, aber bei den gegebenen Abmessungen d√ľrfte diese √Ąnderung sehr gering ausfallen.
Nochmals zu Integration:
es gilt: ph=p*cos(al) 2*Z=Integral(ph*r*d(al))=p*Integral(cos(al)*r*d(al))=p*r*sin(al) Integrationsgrenzen <pi/2 bis 3*pi/2> eingesetzt liefert 2*Z=2*p*r also p=Z/r wie bei der Kesselformel
Mit Gruß E. Sauer
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Hallo!

Verzeihung, aber ist dem wirklich so. Ein Förderband ist doch ein Zugmittelgetriebe, nicht wahr? Wenn ich mich recht entsinne, sind die Zugkräfte im Lasttrum und im Leertrum doch unterschiedlich groß, es gilt
F1 > F0 und F2 < F0 und somit
F1 = F2 * exp(mu * beta) mit
F0 : Vorspannkraft bei Stillstand F1 : Kraft im Lasttrum F2 : Kraft im Leertrum mu : Reibungskoeffizient zwischen Band und Trommel beta: Umschlingungswinkel in [rad]
Daraus folgt doch, da√ü die Spannkraft im Riemen √ľber die umschlungene Strecke nicht konstant sein kann, woraus letztendlich auch die Schlupfwirkung eines Riementriebes resultiert (Stauchung des Riemens an der treibenden Scheibe, Dehnung an der getriebenen Scheibe und somit eine Relativbewegung zwischen Scheibe und Riemen), sowohl beim Antrieb als auch beim Abtrieb.
Gruß, Kai Fanslau
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Kai Fanslau wrote:

√Ąh, jein!
Wie erwähnt gehts in meinem Fall um die frei laufende Umlauftrommel, wo die Kräfte beidseits annähernd gleich sind. Der Unterschied liegt lediglich in der eher geringen Reibung der Trommel bei der Drehung.
Die gesamte Leistung zur √ľberwindung der verschiedenen Reibungskr√§fte, sowie die notwendige Hebearbeit bei Schr√§gf√∂rderer werden bei der Antriebstrommel mittels Haftreibung √ľbertragen, da gibts dann nat√ľrlich eine unterschiedliche Spannkraft.
HC
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Kai Fanslau schrieb:

F1 = F2 * exp(mu * beta) bzw U = F2 * (exp(mu * beta) -1) U ist die max. √ľbertragbare Umfangskraft einer Treibscheibe.
Im vorliegenden Fall soll aber nicht der Antrieb sondern nur die FREILAUFENDE Umlenkrolle betrachtet werden. Hier entstehen Widerstände aus der Reibungs- (Band)steifigkeit und aus den Widerständen des Trommellagers, so daß die Zugkraft auf der gezogenen Seite des Bandes tatsächlich größer ist. Hierdurch ändert sich die Lage des Umschlingungswinkel und der Lastresultierenden, die Größe des Umschlingungswinkel ändert sich nicht, die der Lastresultierenden aber schon.
Inwieweit die Kesselformel tatsächlich anwendbar ist, ist von örtlichen Gegebenheiten abhängig, als Näherung aber brauchbar.
--
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Ups ... ich sollte genauer lesen *verschämtgrins*
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Kai Fanslau wrote:

Aber wo... lieber einen falschen Einwurf zuviel, als einen richtigen zu wenig.
HC
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