Rysowanie sinusa cyrklem

Wyprowadzenie jest bledne. Autor przecina dwa walce poprzez odjecie dwoch rownan i otrzymuje x^2 = y^2 po czym traktuje to jako rownanie krzywej nie uwzgledniajac wogole z. Tymczasem rownanie x^2 = y^2 to nie rownanie krzywej przeciecia, tylko jej rzutu na plaszczyzne z = 0 i jest to po prostu rownanie dwoch prostych x = y oraz x = -y czyli przeciecia widzianego z kierunku z gdzie krzywa przeciecia zostala calkowicie zdegenerowana do prostej. Dokladniej rzecz ujmujac to jest rownanie dwoch plaszczyzn poniewaz z wogole nie jest w tym rownaniu okreslone. Nie mozna wyrazic krzywej w przestrzeni trojwymiarowej pojedynczym rownaniem algebraicznym. Pojedyncze rownanie algebraiczne w przestrzeni trojwymiarowej okresla powierzchnie a nie krzywa.

Jak patrzysz z kierunku z na dwa walce jeden wzdluz x a drugi wzdluz y to faktycznie widzisz po prostu krzyz skladajacy sie z dwoch prostych ale na przeciecie patrzysz z kierunku w ktorym krzywa przciecia sie calkowicie zdegenerowala. To tak jak w prostej arytmetyce dzielenie przez zero. Jezeli obie strony rownania podzielsz przez zero to mozesz otrzymac dowolnie bezsensowny wynik. Jest wiele przykladow - dowcipow w matematyce, gdzie zrecznie ukryte dzielenie przez zero prowadzi do "dowodow" na absurdalne wyniki. Tak samo tutaj autor patrzy na elipse z kierunku rownoleglego do plaszczyzny na ktorej ta elipsa sie znajduje, wiec zamiast elipsy widzi prosta (a raczej odcinek) i rownanie prostej rozwija na plaszczyzne - blednie.

Faktyczne przeciecie tych walcow to przeciez zwykla elipsa o osi mniejszej rownej promieniowi R a osi wiekszej rownej R razy pierwiastek z 2 bo taka figure otrzymasz jak przetniesz walec plaszczyzna pod katem 45 stopni do osi. Jak rozwiniesz teraz ta elipse na plaszczyzne to otrzymasz rownanie, ktore podalem. Moglbym umiescic dowod z obrazkami gdzies na sieci jezeli musisz koniecznie go zobaczyc ale moze ten opis wystarczy aby cie przekonac. W koncu to wymaga ode mnie troche pracy.

Tak czy siak, ze pomoca cyrkla i linijki wykersu sinusoidy, czy tez wykresu pierwiastka jakiejs funkcji narysowac sie nie da. Mozna najwyzej znalezc serie puntkow i interpolowac miedzy nimi albo lukami cyrkla albo prostymi linijki.

Nota bene dowodzi to, ze chodzenie do szkol nie gwarantuje dobrego wyniku. Mozna sie w algebraicznych przeksztalceniach pomylic. Tymaczasem CAD przetnie dwa walce i je rozwinie poprawnie na plaszczyzne bez wzgledu na to czy uzytkownik potrafi znalezc rownanie krzywej w przestrzeni, czy nie. Wazne aby autor CAD potrafil poprawne algebraicznie rownanie znalezc.

JAM

Zwracam honor. Nie jest bledne choc x^2=y^2 do niego niezbyt prowadzi. Jest to dowod, ze dwa jednakowe walce przecinajace sie pod katem 90 stopni widziane z kierunku prostopadlego do obu walcow przecicie degeneruje sie do krzyza dwoch prostych.

Rownanie, ktore podalem prowadzi do tego samego bo w rownaniu jest sqrt(1-sin(x)^2) a przeciez 1-sin(x)^2 = cos(x)^2 a pierwiastek z tego to zwykly cos(x). Dwojka w rownaniu sie gubi, bo ja patrzylem ma elipse pod katem 45 stopni do osi walca (gdzie max y to sqrt(2) ale przeciez rowniecie walca jest mierzone wzdluz jego osi co skraca moje rownanie o dokladnie sqrt(2).

Tak czy siak, sinusa nie narysujesz cyrklem. Nie da sie. Gdyby sie dalo mialbys kwadrature kola. To wynika z definicji funkcji sin(x). Wezmy gorna polowke okregu jednostkowego x^2+y^2=1 Jezeli oznaczysz przez x = sin(u) to u oznacza dlugosc luku okregu pomiedzy osia y a wartoscia x. Jezeli potrafisz narysowac cyrklem wykres v = sin(u) to oznacza ze potrafisz narysowac dokladnie dlugosc luku okregu rozwninietego na prosta czyli potrafisz narysowac pi. Jezlie potrafisz narysowac pi to wlasnie znalazles kwadrature kola.

JAM

JAM <ja snipped-for-privacy@yahoo.com napisał(a):

Na plaszczyznie tak, ale nie na walcu. Mozesz to sprawdzic w CAD rozwijajac walec przeciety kula.

WM

No zgoda, bo walec to zwiniecie pi z prostej w kolko, ktore usuwa problem kwadratury kola, ale dalej rozwiniecia na plaszczyzne sie nie da a chyba o to ci wlasnie chodzilo ?

JAM

JAM <ja snipped-for-privacy@yahoo.com napisał(a):

Nie podawalem wyliczen na na to, jak po rozwinieciu walca (z narysowana cyrklem krzywa), otrzymac sinus/cosinus. Skoro jednak nie widzisz takiej mozliwosci, to podam wyliczenia.

Szkic:

Bierzemy walec i owijamy go dookola kartka papieru tak, by krawedzie kartki byly rownolegle do osi walca i stykaly sie ze soba. Nastepnie ustawiamy rozwarcie cyrkla rowne srednicy walca i wbijamy nozke cyrkla dokladnie po przeciwnej stronie widocznej krawedzi kartki (w punkcie A na szkicu). Zataczamy cyrklem raz po walcu, rysujac linie na kartce od krawedzi do krawedzi. Po rozwinieciu kartki otrzymamy polowke sinusoidy.

Skad wziac walec? No coz, gdy nie mamy pod reka butelki jest okazja by skoczyc do sklepu.

Gorzej z cyrklem, bo powinien byc duzy i miec dwie lamane nozki.

Teraz skrotowe wyjasnienie teoretyczne.

Rownanie okregu jest znane:

r^2=x^2 + Y^2 {1} r- rozwarcie cyrkla ; R- promień walca

Po rozwinieciu papieru wspolrzedna x (wzdluz osi walca) nie zmieni sie, zmieni sie (wydluzy) wspolrzedna Y , bo cieciwa= Y zostanie zastapiona opartym na niej lukiem= y.

Zaleznosc miedzy cieciwa i opartym na niej lukiem o promieniu R:

cieciwa=2*R*sin((luk/2)/R) {2}

Podstawiamy 2 do 1 i otrzymujemy rownanie ogolne:

r^2=x^2 + (2*R*sin(y/(2*R)))^2 {3}

Nas jednak interesuje przypadek szczegolny, gdy po rozwinieciu bedzie sinus, dlatego podstawiamy r=2*R i otrzymujemy:

1=(x/r)^2 + ( sin(y/r))^2 {4}

Poniewaz sin^2 + cos^2 =1 mamy:

x/r = cos(y/r) {5}

ymax to pol obwodu walca, czyli ymax=pi*R=pi*r/2 {6}

Dlatego maksymalny kat (ymax/r)= pi/2 {7}

WM

Trzeba bylo od razu, ze chodzi o zagadke :-)

JAM

WM snipped-for-privacy@gazeta.pl napisał(a):

Moglbyś uczciwie napisać ile trwało liczenie na kalkulatorze. Z ciekawości sprawdziłem ile to trwa tak jak on chciał to zrobić. Z otworzeniem programu 55 sekund.

kogutek <sok snipped-for-privacy@gazeta.pl napisał(a):

Ile moze trwac wykonanie na kalkulatorze tych operacji?:

1.odejmowanie srednic, 2.dzielenie tego przez 2 , 3.podzielenie wyniku przez wysokosć, 4.odczytanie dla otrzymanego wyniku funkcji arctg

Z pewnoscia krocej niz wedrowka z dzialu do dzialu.

Podalem facetowi wynik, a on powiedzial, ze nie wierzy i chce to zobaczyc na ekranie w cad. Dopiero jak zobaczyl to uwierzyl.

WM

WM snipped-for-privacy@gazeta.pl napisał(a):

Prosiłem żebyś prawdę napisał ile to trwało. Nie co robiłeś tylko czas w sekundach albo minutach.

kogutek <sok snipped-for-privacy@gazeta.pl napisał(a):

Tak szybko? Trudno mi w to uwierzyc.

Nie pamietam juz ile. Skoro zrobiles probe z CAD, to zrob i z kalkulatorem.

WM