1 und 3 sind gute Wärmeleiter aus gleichem Metall, aber unterschiedlicher Temperatur (die mal erstmal über den ganzen Block gleich sei). Bei 2 ist 'n Thermoelement mit k-Wert um 1.
Die Ummantelung bei 4 ist auch ein Material mit k-Wert um 1, und mich interessiert nun, wieviel Wärme durch die Ummantelung, anstatt wie eigentlich erwünscht durch der Kern läuft.
Ausser dafür jetzt extra 'ne Simulation zu bemühen fällt mir keine einfache Berechnungsmethode ein (vielleicht mangels Wissen), so daß ich dachte, daß es für sowas vielleicht Tabellen gibt, oder sowas.
Der Querschnitt ist quadratisch, und Streckenverhältnisse liegen so im Bereich des in der Zeichnung erkennbaren.
Das ist ein Fall für die Wärmeleitungsgleichung. Bitte stelle Deine Frage in de.sci.mathematik oder de.sci.physik vor. Gerade aktuell liegen dort (Mathematik) Fragen zu partiellen Differentialgleichungen vor. Deine Aufgabe dürfte als ebenes Problem numerisch lösbar sein.
Also ich glaube, für mich reicht jetzt erstmal die Schätzung, daß sich die Leistungsdichte L auf der Trennebene unabhängig von der Dicke der Ummantelung und unabhängig von der Länge der Konstruktion zu
L(h) = L_0 * d/(h+d)
ergibt, wobei d der halbe Abstand der Metallblöcke ist, h der Abstand des Punktes zum als durchgezogen gedachten Metallblock, und L_0 die homogene Leistungsdiche zw. den Blöcken ist (wenn dieser Bereich mit dem Ummantelungsmaterial gefüllt wäre).
Falls jemand darüber weitermeditieren will, hier 'ne Zeichnung zu der Idee:
Das war etwas tricky zu integrieren (also will meinen, ich hab's mit 2 verschiednen CAS probiert, und habe dann die für mich verwertbarere aussehende Ausgabe gewählt).
Mal an einem Beispiel, vielleicht fällt ja jemandem auf, ob das völlig falsch sein muss, oder ungefähr hinkommen könnte:
Thermoelement: 30x30x3.6 [mm] Metallblöcke: 30x30xoo [mm] (unendlich lange Kontruktion) Ummantelung: quadratisch mit viertelkreis-Ecken
Wenn das Ummantelungsmaterial den gleichen k-Wert wie das Thermoelement hat, komme ich auf diese Leistungsverhältnisse
Ummantelungsdicke (Ummantelungsleistung/Elementleistung) 2.3 mm -> ~1/4 7 mm -> ~1/2 20 mm -> ~1 50 mm -> ~2 113 mm -> ~4 247 mm -> ~8
17300 mm -> ~500
Die Mantelleistungsanteil wächst demnach teilweise sublinear mit der Manteldicke, stellenweise aber auch sogar fast quadratisch, insgesamt jedoch meistens linear.
Ich weiß nicht, was du da komisches rechnest, der Zusammenhang sollte monoton sein. Degressiv um genau zu sein. Bei unendlich dünnem Mantel wächst die Leitfähigkeit des Mantels linear mit der Dicke und geht für sehr dicke Mäntel sicherlich zu einem endlichen Grenzwert über. Es solle eine Kurve rauskommen, die qualitativ wie ein L=1-exp(-d) aussieht (L=Leitfähigkeit, d=Manteldicke).
Wobei mit dem endlichen Grenzwert bin ich mir auch nicht mehr so sicher, praktisch hat eine unendliche Manteldicke ja auch eine unendliche Einschwingzeit.
Eine Lösung weiß ich auch nicht, aber meine Gedanken dazu sind, dass sich der Mantel als eine Staffelung aus (irgendwie geformten) Schalen darstellen lassen müsste. Jede stellt einen Wärmeleiter dar und die Leitwerte addieren sich. Nur hilft das nicht weiter, wenn man die Form der Schalen nicht kennt. Sie sollten etwa so verlaufen, wie Feldlinien. Also die Wärme fließt immer in die Richtung, in die die Feldlinien eines elektrischen Feldes zeigen würden, wenn die gut leitfähigen Teile die Elektroden darstellen und der Rest ein Nichtleiter ist.
Ja, ich habe auch noch keinen die Monotonie störenden Bereich gefunden.
Was meinst Du damit?
Naja, aus meiner Annahme zur Leistungsdichte
L(h) = L_0 * d/(h+d)
folgt ja ungefähr, daß diese insgesamt umgekehrt proportional mit der Manteldicke abnimmt. Die Querschnittsfläche des Mantels nimmt aber quadratisch mit der Manteldicke zu, so daß ein grob linearer Zusammenhang von Manteldicke und Mantelleistung schon himkommt. Meinst Du denn, die Annahme zur Leistungsdichte ist so falsch?
Naja, dann will ich mal noch die Zeichnung
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Zunächst mal handelt es sich um einen Längsschnitt, nicht um einen Querschnitt.
Grundidee war ertmal, von einer unendlichen dünnen Grenzschicht zw. den Metallblöcken auszugehen (die wundersamerweise natürlich trotzdem jeweils ihre lageunabhängige Temperatur haben sollen).
Dann sind die Vertikale im Bild eine Ebene konstanter Temperatur. Aus Symetriegründen gilt das auch für weitere Ebenen (Linien), die auf einer Winkelhalbierenden zwischen zwei jeweils Isothermen Ebenen liegen. Haben die Metallblöcke keinen Abstand voneinander, dann liegen haben auch alle diese Isthemen Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt (bzw. sogar 'ne gemeinsame Schnittgerade!).
Wenn man jetzt den Abstand zw. den Metallblöcken vergrössert, werden diese Isothermen Flächen vielleicht nicht mehr eben sein, weiss ich nicht genau. Jedenfalls habe ich jetzt einfach mal vereinfachend angenommen, daß dieser Schnittpunkt der Ebenen erhalten bleibt, und sich einfach um den halben Blockabstand "nach unten" verschiebt. Exakt wird das nicht sein, hat aber den Vorteil, daß ich gleichzeitig eine Möglichkeit zur Normierung der Leistungsdichte eingebaut habe (denn die ist ja für h=0 bekannt).
P(h) ist übrigens, falls es noch nocht aufgefallen ist, die Gesamt-Mantelleistung pro Kelvin Temperuturunterschied der Metallblöcke. Soll's zumindest sein.
Verändert aber am Gesamtergebnis nicht mehr viel.
Bei dem Zahlenbeispiel bei 17m 'n Leistungsquotient von 220 anstatt wie da angegeben 500,
Du nimmst also an, dass die Leitfähigkeit am Rand halb so groß ist, wie in der Mitte (also am inneren Rand der Matelung). Na ja, ... wieso?
Ich würde erwarten, dass d^2P/dd^2 stets kleiner Null ist. Der Zuwachs an Wärmeleitung mit wachsender Manteldicke wird mit größerer Manteldicke immer kleiner.
Ich stelle mir vor, wie das in einem unendlich dicken Mantel aussieht. Leitet der unendlich gut? Hmm, ja, weil dann auch zum Tragen kommt, dass die Teile in der Mitte unendlich lang sind.
Hmm, tcha. Eine Lösung weiß ich da auch nicht. Ich hab vor einiger Zeit mal durchzudenken versucht, was passiert, wenn man einen beliebig großen Klotz wärmeleitfähiges Material auf eine Herdplatte legt (Herdplatte ist kreisförmig, hat Leistung und ist heiß). Meine Hypothesen habe ich nie richtig überschlagen, deswegen weiß ich auch nicht ob sie stimmen. Aber irgendwie passt das sowieso nicht zu deinem Problem.
L(h) ist die Leistungsdichte bei h, und zwar auf der Symetrieebene. Diese hängt von der Leistungsdichte L_0 ab.
L_0 seinerseits hängt von der Temperaturdifferenz, dem k-Wert des Materials und dem Abstand der Metallblöcke ab.
Am Rand des Metalls ist nicht die Leitfähigkeit geringer, wohl aber der Temperaturabfall pro Strecke, will meinen, die Leistungsdichte ist am Rand geringer.
d ist auch nicht die Dicke des Mantels, sondern, wie beschrieben der halbe Abstand der Metallblöcke.
h ist der Abstand von der Bezugskante bzw. die Dicke des Mantels.
Und halbe Leitfähigkeit entspricht doppelter Strecke, die die Wärme fließen muss.
Ach so.
Noch 'ne Idee zur Vereinfachung: Man könnte annehmen, dass in dem Bereich der Trennschicht (d) die Wärme überall parallel zur Achse fließen muss. Man kann die Wärmeleitung durch den Mantel in 3 Zonen unterteilen: Da wo sie sich seitlich in das Mantelmaterial hinein ausbreitet, die Scheibe der Dicke d, in der die Wärme streng genaus nur parallel zur Achse fließt und der dritte Bereich, in dem sie sich wieder zum Metallklotz hin sammelt. Der erste und Dritte Bereich sind gleich. Die Symmetrieebene muss eine Ebene gleicher Temperatur sein. Dummerweise gilt das aber nicht mehr für die Ränder der Scheibe... womit die Idee auch schon wieder hinfällig ist.
Jedenfalls hatte ich an sowas gedacht wie, dass man nurnoch sozusagen einen Quadranten betrachtet. Wenn der Metallklotz isotherm ist und die Trennebene isotherm, dann muss der Wärmefluss dazwischen sogar symmetrisch zu den 45°-Geraden sein und. Aber das mit der Trennebene haut ja schon nicht hin.
Ich und meine Tipfehler. Hier war natürlich der Rand des Mantels, nicht der des Metalls gemeint.
Mit Leitfähigkeit haben wir's hier doch überhaupt nicht zu tun, das ist ja einfach eine Materialkonstante.
Aber Du meinst also wohl "Leitfähigkeit" im Sinne von Leistungsdichte pro Systemtemperaturdifferenz, oder?
Mag ich mich sprachlich so nicht drauf einlassen, weil es nicht um eine "Fähigkeit" des Materials geht.
Wie wär's mit "Leitung"?
Ich gehe ohnehin davon aus, daß man den Wärmefluss direkt zwischen den Blöcken durch Hinzufügen von Mantelmaterial gar nicht nicht-homogen machen kann. Dazu wäre es ja nötig, daß das Aussenmaterial dem Kern einen anderen Tempraturgradienten quasi aufdrängt. Wir wissen aber, daß aus Symertriegründen die Trennebene Isotherm ist, und genau die mittlere Temperatur der beiden Blöcke an nimmt.
Ja, genau. Diese 45°-Gerade ist aber auch wieder isotherm, wenn das d (also der halbe Metallblockabstand) 0 ist.
Dann kann man aber zwischen diese 45°-Gerade und die Trennebene wieder eine Winkelhalbierende zeichnen, die eine Isotherme ist, und immer so weiter.
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