Formel für Verformung abhängig von Höhe

Thomas Hertzberg meinte am 25 May 2007 in 9 Zeilen:

Vielleicht gibt es eine einfache Formel, aber möglicherweise hast Du das Problem zu einfach beschrieben - ich kann noch nicht genau erkennen, was Du genau meinst. Wenn es um Temperatur geht, ist z.B. auch der Wärmeausdehnungskoeffizient von Interesse. Wichtig ist auch, wo und wie der Quader gehalten ist, da davon die Richtung der Längenänderung abhängig ist usw.

CU&THX Steffen

Am 25 May 2007 06:03:09 -0700 schrieb Thomas Hertzberg:

Das ist doch Banane! Was grenzt wie und wo an? Was ist unten?

Wenn Dir an einem realitätsnahen Berechnungsmodell gelegen ist, dann gibt es keine "einfache Formel". Selbst unter der Voraussetzung:

ideal elastisches Material homogenes und isotropes Werkstoffverhalten Vernachlässigung der Dehnungen aus Schubspannung Ebenbleiben der Querschnitte kleine Verformungen Vernachlässigbarer Einfluß der Wärmeleitung (keine Temperaturunterschiede über die Quaderhöhe) Eigengewicht vernachlässigbar Ausnutzung von Symmetrien usw.

ist nur eine grobe Näherung zu erreichen. Wenn man dies annimmt, dann gilt im Hauptachsensystem für den räumlichen Spannungszustand (e si epsilon und s sei sigma, nue Querdehnzahl)

e_x=1/E*(s_x-nue*(s_y+s_z)), e_y=1/E*(s_y-nue*(s_x+s_z)), e_z=1/E*(s_z-nue*(s_x+s_y))

Nun sind noch die Randbedingungen zu klären. Ich nehme an, daß der Quader mit seiner Bodenfläche dehnsteif auf einer starren Platte "geklebt" ist und dann sinngemäß nur der Quader auf global konstante Temperatur gekühlt wird. Die Randbedingungen solltest Du nun selber austüfteln. Aber das Ergebnis ist fragwürdig.

Geht man allerdings "in die Vollen", dann ist ein System von partiellen Differentialgleichungen zu lösen. Viel Spaß dabei.

Wer stellt solche Aufgaben? Bitte poste den vollständigen Text.

Freundliche Grüße, Alfred Flaßhaar

Vielen Dank f=FCr die ersten Antworten. Ich versuche mal, das Problem zu pr=E4zisieren (die Aufgabenstellung gibt es bislang nur im Kopf ...):

Es geht darum, dass ein Silizium-Sensor in ein Geh=E4use geklebt wird. Um eine worst-case-Absch=E4tzung zu machen soll berechnet werden, wie stark sich die Oberseite des Si-Quaders verformt, wenn die Unterseite (die im Geh=E4use klebt) deformiert wird. Um das ganze zu vereinfachen, sollen zun=E4chst alle thermischen Einfl=FCsse vernachl=E4ssigt werden und nur Verschiebung in x-Richtung betrachtet werden (au=DFer wenn es einfacher w=E4re, y-Verschiebungen mit dazu zu nehmen).

Die unterste Schicht des Si-Quaders wird um dx verl=E4ngert (keine Verformung in z-Richtung) und mich interessiert nun die x-Verschiebung an der Oberseite.

Ich habe schon =FCberlegt, ob ich den Quader in d=FCnne Streifen der H=F6he dz aufteile und dann f=FCr jeden Streifen Dehnung und Scherung berechne. Oder w=E4re dieses Modell v=F6llig falsch?

Gru=DF, Thomas

Welche Abmessungen hat denn der Quader? Und wie sehen die Verschiebungen aus?

Ich habe das mal für ein ebenes Problem (eine _quadratische Scheibe_) mit meinem Statikprogramm versucht nachzubilden. Dabei habe ich die Scheibe in Stabelemente aufgelöst. Die Zwangsverschiebungen unten habe ich nach außen hin linear zunehmend angenommen.

Mein Ergebnis war, dass sich die horizontalen Verschiebungen im unteren Bereich (ca. 20 % der Höhe) ausgetobt haben. In diesem Bereich ergeben sich dann auch die größten Spannungen. Im oberen Bereich herrscht mehr oder weniger Ruhe. Die vertikalen Verschiebungen sind vernachlässigbar klein im Verhältnis zu den horizontalen.

Mit Gruß Ernst Sauer

Worst-case-Abschätzung? Oben=Unten.

Michael Dahms

x*y*z : 1200*600*500 =B5m

die liegen im Bereich 50nm

das denke ich auch, dass an der Unterseite eine lineare Verschiebung auftritt

Leider ergeben meine CoventorWare-Simulationen sehr merkw=FCrdige Ergebnisse (leichte Ver=E4nderung in E-Modul und Querdehnzahl ergeben v=F6llig anderen Kurvenverlauf der Verschiebung an der Oberseite). Deshalb -- und auch um schnell eine Absch=E4tzung machen zu k=F6nnen, welche Parameter wie gro=DFen Einfluss haben (Geometrie, mech.Eigenschaften) -- bin ich auf der Suche nach einem Modell bzw. einer Formel.

Gru=DF, Thomas

Bei diesen Abmessungen kann man die Gleichungen der Elastizitätstheorie sicher nicht mehr anwenden.

Könnte man bei diesen Verhältnissen die El.-Theorie awenden, dann wäre meine Abschätzung hinsichtlich der Verformungen folgende:

Der St.-VENANTsche Störbereich beträgt ca. L/2 (hier x/2) und erstreckt sich somit über die gesamte Höhe. Die horizontalen Verformungen sind oben ca. Null und nehmen nach unten in etwa linear zu.

Die vertikalen Verformungen sind nicht mehr Null sondern betragen am oberen Rand ca. 25% der horizontalen. Der obere Rand bekommt in vertikaler Richtung eine Art Verwölbung (z.B. in der Mitte eine Verformung nach unten, aussen eine nach oben, bei einer unteren horizontalen Verschiebung nach aussen).

Mit Gruß Ernst Sauer

X-No-Archive: Yes

begin quoting, Ernst Sauer schrieb:

Wieso denn nicht?

Ich wäre bei dem Werkstoff skeptisch, was die Isotropie des Elastizitätstensors angeht.

Gruß aus Bremen Ralf

Moin,

Ralf Kusmierz schrub:

Ich wäre obendrein skeptisch, ob die Annahme, die Unterseite sei steif an das Grundmaterial angebunden, gut genug zutrifft. Was für ein Klebstoff soll das sein? Auf welchem Material ist der Klotz aufgeklebt?

CU Rollo

aber f=FCr ein Modell w=E4re das doch sicherlich eine Annahme, die das ganze stark vereinfacht.

es ist Epoxid-Klebstoff in einem Keramik-Geh=E4use.

Moin,

Thomas Hertzberg schrub:

Sicher, nur was nutzt ein einfaches Modell, wenn es die Problemstellung nicht betrifft.

Dann wäre noch die Frage, wie dick die Klebstoffschicht ist.

CU Rollo