aus aktuellem Anlaß habe ich eine Frage zu einem Fachgebiet, das während des Studiums mit "Man sei schlau, mach Wasserbau" als Dünnbrett abgetan wurde. Heute rächt sich das.
Gegeben sei ein schwimmfähiger Quader (starrer Körper) mit exzentrischer Einzellast auf dem "Deck". In welchem Buch bzw. script oder auf welcher website kann ich nachlesen, wie der räumliche Gleichgewichtszustand nachgewiesen wird. Der ebene Fall mit "Metazentrum" ist bekannt, ebenso die einschlägigen Gleichgewichtsbedingungen für den räumlichen Fall, die allerdings auf recht unhandliche Algorithmen führen. Gibt es elegantere Methoden?
Ich interpretiere Deinen Beitrag als wohlgemeint. Es ist tatsächlich so, daß erste Berechnungen mit Hilfe von Gleichgewichtsbedingungen und "Archimedes" recht umständlich sind. Schiffbauer müßten dieses Problem als Standardaufgabe kennen. An der Uni Harburg wurde ein Text gefunden, der mathematisch recht interessant und anspruchsvoll ist.
Ich will in Zusammenhang mit Computergrafik ziemlich genau das von Dir beschriebene Problem bearbeiten, von daher das Interesse an deinem Vorbringen, wobei mich allerdings eher nicht konkret der Gleichgewichtszustand, sondern eben eine dynamische Beschreibung des Schwimmvorgangs (unter Berücksichtigung von wellengang) interessiert und wobei aber andererseits niemand ertrinken muss, wenn ich falsch rechne (muss eigentlich nur halbweg richtig aussehen).
Ausgehend von der Überlegung, daß die den Auftrieb erzeugende Kraft durch den Wasserdruck erzeugt werden muss, und der erstmal schludrig formulierten These, daß dieser Wasserdruck nur von der Tiefe abhängt (was ist hier Tiefe?), und grundsätzlich in Richtung der Flächennormale wirkt, habe ich also erstmal 'ne Form, auf die bekannte Drücke wirken. Wie damit dann genau zu verfahren ist, habe ich mir noch nicht überlegt, jedenfalls ist klar, daß ich die Oberfläche in hinlänglich kleine Segmente zerlegen werde, um dann den Druck in Form von punktweise wirksamen Kraftwirkungen so zu verwurschteln, daß 2 gegen entsprechende Trägheitsmomente wirkende Drehmomente zuzgl. einer Gesamtauftriebskraft dabei umkommen.
Ist mir aber momentan zu weit weg.
Da scheint man ja auch ziemlich ähnlich zu rechnen, wobei ich schon eingestehen muss, die Rechnung nicht wirklich nachvollziehen zu können, vielleicht aber nur weil mir die Grundbegriffe der Mechanik allzeit präsent sind.
*Hust* welch Tipfehler. Gemeint war natürlich genau das Gegenteil (und das war schon schön). Nicht daß noch irgendein ein hochgradig verzeweifelter Trottel auf die Idee kommt, ausgerechnet mich zu fragen.
KA. Der Gleichgewichtszustand läßt sich aber eigentlich recht leicht verbal formulieren: Ein Schwimmkörper befindet sich genau dann im Gleichgewicht, wenn bei einer kleinen Drehung um seinen Schwerpunkt der Auftrieb, also die Wasserverdängung, nicht abnimmt. (Denn das hätte zur Folge, daß der Körper tiefer eintaucht und der Schwerpunkt mithin absinkt, folglich kann er zuvor keine energieminimale Lage gehabt haben, was Voraussetzung für eine Gleichgewichtslage ist.)
Numerisch müßte man das nun für jede Raumrichtung der Drehung auswerten, wobei mir intuitiv nicht so klar ist, wie sich das in ein VONS von infinitesimalen Rotationen zerlegen läßt. Klar ist jedenfalls, daß nur der Oberflächenverlauf des Schwimmkörpers um die Wasserlinie herum in das Problem eingeht, denn nur dort kann sich bei einer kleinen Drehung das Wasserverdrängungsvolumen ändern. Die Größe der zweiten Ableitung der Wasserverdängung nach dem Drehwinkel müßte im Gleichgewicht zugleich ein Maß für die Stabilität dieses Gleichgewichts geben.
Die Sache mit dem lokalen Energieminmum klingt ja schonmal gut. Aber so ausformuliert stimmt es anscheiend nicht.
Um das zu verdeutlichen, hier mal just 'n Bild dazu:
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Eine Drehung um den Schwerpunkt wird bei so einem Teil ausgehend von der Gleichgewichtslage seine Verdrängung mit dem Vorzeichen der Drehrichtung ändern.
Vertrackt, Du hast recht! Danke für das Gegenbeispiel!
Es lohnt offenbar die Mühe, es zu analysieren, weil es scheinbar dem Energiesatz widerspricht.
Dein Modell kann offenbar bei konstantem Auftrieb, also konstanter Eintauchtiefe der großen Kugel, Drehschwingungen um de Kugelmittelpunkt ausführen. Der Punkt dabei ist, daß sich der Schwerpunkt des Schwimmkörpers im Gleichgewicht aber nicht in seiner tiefsten Position befindet, die läge nämlich senkrecht unter der großen Kugel.
Gleichwohl, und das ist die Lösung, befindet sich das Gesamtsystem dennoch im Potentialminimum: Bei einem tieferen Eintauchen des kleinen Schwimmkörpers duch Drehung um den Mittelpunkt der großen Kugel wird zwar der Schwerpunkt des schwimmenden Objekts abgesenkt, aber auch der Schwerpunkt des Wassers angehoben.
Meine Gleichgewichtsbedingung muß ich also umformulieren: "Ein Schwimmkörper befindet sich genau dann im Gleichgewicht, wenn bei einer kleinen Drehung um seinen Schwerpunkt kein der Drehung gleichgerichtetes Drehmoment auftritt bzw. dem System keine Arbeit entnommen wird."
(Auch das läßt sich wohl numerisch leicht auswerten, indem man das Drehmoment, das bei der mit einer infinitesimalen Drehung verbundenen Wasserverdrängungsänderung auftritt, berechnet.)
Das ist die Theorie. Dies wird sinngemäß auch in den Fachbüchern über Schiffbau so dargelegt.
Das mit dem "leicht rechnen" glaube ich nicht - und erst recht nicht, wenn Optimierung der Schwimmkörpergeometrie damit verbunden ist. Recht einfach wäre es, wenn in den einschlägigen Statikprogrammen (Dlubal, Sofistik, ...) die Federkonstante als abhängig vom Federweg modelliert werden könnte. Dann könnte man mit der Federkonstanten gamma*h eine Steife wie beim Baugrund simulieren und nach Th. II. Ord. rechnen.
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