Guten Abend liebe Newsgroup-Leser,
ich bereite mich gerade auf die Prüfung Regelungstechnik II vor und bin daher gerade dabei Übungen zu rechnen und nachzuvollziehen.
Es sei folgende Zustandsraumdarstellung ermittelt worden:
Anmerkung: - Größen mit Punkt drüber: zeitliche Ableitungen - Kleinbuchstaben mit Unterstrich: Vektor - Großbuchstaben mit Unterstrich: Matrix
. / 0 1 0 \ / 0 \ x = | 0 0 0 | x + | 0 | u - \ 0 0 -2 / - \ 1000 /
y = [ 1 0 0 ] x -
Aufgabe sei es nun eine Zustandsrückführung so zu entwerfen, dass sich der geschlossene Regelkreis näherungsweise wie ein PT1-Glied mit T = 1 s verhält. Die nichtdominanten Pole sollen hierbei auf s = -10 gelegt werden. Alle Zustandsgrößen seien messbar.
Meine Vorangehensweise war nun folgende:
Ein PT1-Glied hat das Nennerpolynom (1+Ts), da das System die Ordnung drei hat werden noch zwei Polstellen auf s = -10 gelegt. Es ergibt sich also das "Wunschpolynom"
~ P(s) := (1+s)(10+s)(10+s) = s^3 + 21 s^2 + 120 s + 100
Die Zustandsraumdarstellung befindet sich wegen
/ 0 \ b = | 0 | - \ 1000 /
NICHT in Regelungsnormalform (Steuerungsnormalform). Sondern muss erst in diese transformiert werden.
In Regelungsnormalform gilt ja
/ 0 1 0 \ b = [0 0 1]^T c^T = [b_o,b_1,...,b_m,...,0] A = | 0 0 1 | - - - \ -a_0 -a_1 -a_2 /
mit a_i und b_i als Koeffizienten der Übertragungsfunktion der Strecke.
Nachdem ich das System mittels der Transformationsmatrix T
/ (0 0 1) M_s^{-1} \ | - | T^{-1} = | (0 0 1) M_s^{-1} A | - | - - | | (0 0 1) M_s^{-1} A^2 | \ - - /
in Regelungsnormalform gebracht hatte und per Koeffizientenvergleich ~ k_{i+1} = a_i - a_i
die Koeffizienten des Zustandsreglers bestimmt hatte, zeigte ein Vergleich mit der Musterlösung, dass das Ergebnis nicht übereinstimmt.
Das Ergebnis in der Musterlösung lässt folgende Vermutung nahelegen:
Man geht bei der Berechnung der Koeffizienten des Reglers zunächst davon aus, dass das System in Regelungsnormalform vorliegt. (Für die Matrix A alleine betrachtet stimmt das ja sogesehen auch).
Dann ergibt sich per Koeffizientenvergleich: ~ k_1* = a_0 - a_0 = 100 - 0 = 100 ~ k_2* = a_1 - a_1 = 120 - 0 = 120 ~ k_3* = a_2 - a_2 = 21 - 2 = 19
Da nun b = 1000 * b_{Regelungsnormalform} gilt und ferner - -
. x = (A - b k^T) x + b w - - - - - -
sofern A und b in Regelungsnormalform vorliegen, muss für k gelten: - k = 1/1000 k* - -
damit . x = (A - b 1/1000 k*^T) x + b w - - - - - -
gilt.
Ist das tatsächlich so der Fall? Kann man also in Fällen in denen A der Regelungsnormalform entspricht, b bzw B jedoch nicht, eine entsprechende Korrektur vornehmen und somit ohne Transformation rechnen?
Ein anderer, viel einfacherer und universellerer, Rechenweg ist einfach über die Determinante der A-Matrix des geschlossenen Systemes die Eigenwerte (Pole) zu bestimmen. Also über das Regelgesetz . x = (A - b k^T) x + b w - - - - - -
Die Eigenwerte des geschlossenen Kreises erhält man dann mittels
det (sI - A + b k^T) mit I = Einheitsmatrix -- - - - -
Die Reglerkoeffizienten dann wieder mittels Koeffizientenvergleichs: ~ det (sI - A + b k^T) = P(s) -- - - -
Diese Vorgehensweise führt auf die selben Reglerkoeffizienten wie in der Musterlösung angegeben.
Frage(n):
Müsste eine Transformation in Regelungsnormalform nicht die selben Koeffizienten beim Koeff.-Vergleich ergeben? (Bei mir ist das nicht der Fall, oder ich verrechne mich halt andauernd).
Ist die oben beschriebene "Korrektur" zulässig, wenn A und c^T in Regelungsnormalform vorliegen, b jedoch nicht?
Wann ist es sinnvoller ein System in Regelungsnormalform zu transformieren, wann ist es sinnvoller über die Determinante des geschlossenen Regelkreises den Koeffizientenvergleich durchzuführen? (Immer Gesetz dem Fall, dass das System nicht schon in Regelungsnormalform vorliegt)
Mir scheint, dass es für Ordnungen