durchhängendes Drahtseil

Moin,

Peter Addor hat geschrieben:

Mal versuchen. Also Vereinfachungen: die Dehnung mit angehängtem Gewicht ist genauso groß, wie die ohne Gewicht. Das ist der Fall, wenn der Durchhang klein ist.

Dann: Das Seil neigt sich an den Aufhängepunkten um den Winkel \alpha nach unten. Die Komponente der Spannkraft, die das Gewicht nach oben zieht ist also sin \alpha mal S. Das zweimal, weil ja beide Seiten des Seils das Gewicht nach oben ziehen. Gesucht ist also der Winkel \alpha, für den gilt:

2*S*sin\alpha=G

Da hier schon so viel vereinfacht wurde, kann man sin\alpha auch gleich \alpha setzen (im Bogenmaß natürlich) und schon ist die Gleichung sehr einfach lösbar.

Jetzt die Verkomplizierung, der Winkel ist nicht mehr klein und dementsprechend ist die Dehnung infolge Gewicht auch nicht mehr klein.

Es sei l die Entfernung zwischen den Aufhängepunkten.

Dann ist die Dehnung des Seil gleich der Nulldehnung (nenne ich jetzt mal d0, ist gleich Spannkraft ohne Gewicht /E-Modul/Querschnitt*l), also diejenige, die das Seil schon beim Spannen hatte (die ist gleich Spannkraft durch Steifigkeit (die gleich E-Modul mal Querschnitt ist)). Die Dehnung des Seils ist also d0 + l/cos(\alpha). Die Seilkraft ist also E-Modul*Querschnitt* (d0+1/cos\alpha)/l.

Jetzt kann man die Formel von oben recyclen, denn die hat ja einfach nur die Seilkraft verwendet und es herauskommt:

2*E-Modul*Querschnitt*(d0+1/cos(\alpha))/l*sin(\alpha) = G

Diese Gleichung nach \alpha aufzu lösen ist dann Aufgabe von numerischen Rechenverfahren.

CU Rollo

"Peter Addor" schrieb im Newsbeitrag news: snipped-for-privacy@posting.google.com...

Man bekommt bei dem Problem eine transzendente Gleichung.

Bezeichnungen: unbelastetes Seil ohne Durchhang hat die Länge Lo, das verformte Seil hat die Länge L, Dehnsteifigkeit des Seiles = EA, Neigungswinkel des belasteten Seiles = al, Belastung: mittige Kraft F.

Gleichgewicht am mittleren Knoten: S = F/(2*sin(al)) Längenänderung bei Vorgabe eines Winkels al: dL = L-Lo = Lo/cos(al)-Lo = Lo*(1/cos(al)-1); Dehnung eps = dL/Lo = (1-cos(al))/cos(al); Seilkraft S = EA*eps = EA*(1-cos(al))/cos(al);

Gleichsetzen der Seilkraft S: EA*(1-cos(al))/cos(al) = G/(2*sin(al)). Dies liefert die transzendente Gleichung

tan(al)*(1-cos(al)) - F/(2*EA) =0 =================================

Auflösen:

- al wählen,

- Wert der linken Seite ausrechnen,

- ist der Wert >0 war al zu groß

- ist der Wert

"Ernst Sauer" schrieb im Newsbeitrag news:d4e7uj$jrm$05$ snipped-for-privacy@news.t-online.com...

Nachtrag: Hat das Seil eine Vorspannung So, dann ergibt sich eine etwas andere transzendente Gleichung

tan(al)*(1-cos(al)) + So*sin(al)/EA - F/(2*EA) =0 =================================================

Peter Addor schrieb:

.........

Schau mal dort:

Gruß

Jürgen

Besten Dank, Euch allen!

Jürgen, der Link ist Gold wert!

Roland, ich verstehe Dein d0 nicht ganz. Ist es S, also die Spannkraft des Seils, bevor das Mittelgewicht G angehängt wird? Und ist die erste Klammer (d0+Länge/cos(alpha)) oder (d0+Eins/cos(alpha))?

Ernst, ich darf dann mal Deine Gleichung umformulieren: tan(al)*(1-cos(al))

• So*sin(al)/EA - F/(2*EA) =0, also tan(1-cos)+(S*sin)/(E*A)=K, mit K=G/(2*E*A) (mit etwas vereinfachter Notation; zudem nannte ich das angehängte Gewicht G und habe Dich so verstanden, dass Dein F mein G ist).

So, nun ist tan(1-cos)+(S/EA)sin = tan + ( (S/EA) - 1 )sin. S/EA ist gegenüber 1 dermassen klein, dass man mit gutem Gewissen schreiben kann

tan(al) - sin(al) = K

K ist sehr klein, so im Bereich Zehn hoch minus 4. tan(al) - sin (al) nimmt bei sehr kleinen Winkeln diesen Wert an. Ich erhalte 3.5 Grad für meine Grössen, die ich von einem Versuch her habe. Für diesen Winkel berechnet sich der Durchhang zu 9.5 cm, während das Seil im Versuch ca. 20 cm durchgehangen hat. Sieht fast nach einem Faktor 2 aus. Wer hat da einen Rechenfehler gemacht?

Warum ist Deine Formel unabhängig von der Spannweite, bzw. Seillänge? Auch ist mir Dein zusätzlicher Term So*sin(al)/EA etwas suspekt, da er kaum etwas zur Rechnung beiträgt, weil er so klein ist gegenüber den anderen beiden Summanden. Es ist aber der einzige Term, der die Anfangsspannung in die Rechnung einbringt.

Herzlichen Dank und beste Grüsse, Peter

"Roland Damm" schrieb im Newsbeitrag news:426a902b$0$7521$ snipped-for-privacy@newsread2.arcor-online.net...

"Jürgen Brandt" schrieb im Newsbeitrag news:d4ei3k$9j2$05$ snipped-for-privacy@news.t-online.com...

Sorry, habe meine Antwort mitten drin gepostet und erst noch unter falschem Namen (weiss aber nicht, wie das zu Stande kam). Für diejenigen, die's nicht gemerkt haben, hier nochmals meine Bemerkunegn Besten Dank, Euch allen!

Jürgen, der Link ist Gold wert!

Roland, ich verstehe Dein d0 nicht ganz. Ist es S, also die Spannkraft des Seils, bevor das Mittelgewicht G angehängt wird? Und ist die erste Klammer (d0+Länge/cos(alpha)) oder (d0+Eins/cos(alpha))?

Ernst, ich darf dann mal Deine Gleichung umformulieren: tan(al)*(1-cos(al))

• So*sin(al)/EA - F/(2*EA) =0, also tan(1-cos)+(S*sin)/(E*A)=K, mit K=G/(2*E*A) (mit etwas vereinfachter Notation; zudem nannte ich das angehängte Gewicht G und habe Dich so verstanden, dass Dein F mein G ist).

So, nun ist tan(1-cos)+(S/EA)sin = tan + ( (S/EA) - 1 )sin. S/EA ist gegenüber 1 dermassen klein, dass man mit gutem Gewissen schreiben kann

tan(al) - sin(al) = K

K ist sehr klein, so im Bereich Zehn hoch minus 4. tan(al) - sin (al) nimmt bei sehr kleinen Winkeln diesen Wert an. Ich erhalte 3.5 Grad für meine Grössen, die ich von einem Versuch her habe. Für diesen Winkel berechnet sich der Durchhang zu 9.5 cm, während das Seil im Versuch ca. 20 cm durchgehangen hat. Sieht fast nach einem Faktor 2 aus. Wer hat da einen Rechenfehler gemacht?

Warum ist Deine Formel unabhängig von der Spannweite, bzw. Seillänge? Auch ist mir Dein zusätzlicher Term So*sin(al)/EA etwas suspekt, da er kaum etwas zur Rechnung beiträgt, weil er so klein ist gegenüber den anderen beiden Summanden. Es ist aber der einzige Term, der die Anfangsspannung in die Rechnung einbringt.

Herzlichen Dank und beste Grüsse, Peter

"Jürgen Brandt" schrieb im Newsbeitrag news:d4ei3k$9j2$05$ snipped-for-privacy@news.t-online.com...

Ha! Ernst, im Skript "Baustatik2_Skriptum.pdf" von Prof. Beer, ist die Aufgabe gelöst, und wenn ich meine Zahlen vom Versuch einsetze, komme ich auf dasselbe Ergebnis, wie wenn ich Deine Formel benutze, also 9,5 cm. Der Versuch zeigte aber 19.5 cm Durchhang. Da ist doch etwas faul.... Übrigens hatte ich dieselbe Lösung wie Prof. Beer, bevor ich meinen Hilferuf plazierte. Ich rechnete auch mit Proportionen und Pythagoras, anstatt mit trigonometrischen Funktionen. Dabei kommt man auf die Formel von Beer - G = G(f) - also das Mittelgewicht als Funktion des Durchhangs (oder "Stich", wie Beer es nennt). Ich versuchte dann unerschrocken, die Gleichung 4. Grades nach dem Stich aufzulösen und versumpfte dabei unweigerlich. Ihr habt eine transzendente Gleichung für den Winkel alpha erhalten, was technisch auf dasselbe herauskommt, wie eine Gleichung 4. Grades. Eine schöne "runde" Formel

f = f(S,G,E,L,..)

ist unmöglich zu erhalten, wo der Stich aus den bekannten Grössen errechnet werden kann.

Vielen Dank nochmals und schönen Sonntag. Gruss, Peter

"Werner Addor" schrieb im Newsbeitrag news:426b4277$1 snipped-for-privacy@news.bluewin.ch...

...

Ja.

Das ist die Gleichung für ein Seil ohne Vorspannung. Deine Vorspannung ist für die Dehnungsbilanz offensichtlich vernachlässigbar klein.

1.) Hast Du den Seildurchhang infolge des Seileigengewichtes berücksichtigt? Dürfte bei Deinem ca. 3,11 m langen Seil eher klein sein. 2.) Kennst Du die Dehnsteifigkeit des Seiles genau? Bei einem Seil ist EA anders zu ermitteln als bei einem Rundstab. Ich vermute, dass hier die Abweichung zu suchen ist. Wie sieht die Konstruktion genau aus? 3.) Gibt es Schlupf an den Verankerungspunkten?

L geht offensichtlich nicht in die Berechnung des Winkels al ein, weil die Gleichung nichts anderes darstellt als eine Dehnungsbilanz. Bei der Ermittlung des Durchhanges geht L aber ein!

In meiner Gleichung für eps (23.05.05) muss bei einer Vorspannung die Vordehnung eps-o = So/EA hinzugefügt werden. Mit dem Term bekommt man dann die genannte transzendente Gleichung.

Das widerspricht aber nicht der Anschauung. Betrachtet man ein horizontales Seil, dann bekommt man schon bei einem kleinen Gewicht eine nennenswerte Verformung und eine nennenswerte Dehnung, die sehr schnell größer als die Vordehnung ist.

Mit Gruß Ernst Sauer

"Peter Addor" schrieb im Newsbeitrag news:426b71dd snipped-for-privacy@news.bluewin.ch...

>

Für kleine Winkel al geht es schon. Wenn man die linke Seite der Gleichung ohne Vorspannung (siehe oben) tan(al) - sin(al) = K als Reihenentwicklung anschreibt und dann nur das erste Glied berücksichtigt, bekommt man al^3/2 = K und damit

al = 3.Wurzel(2*K) , mit al im Bogenmaß.

Mit Gruß Ernst Sauer

"Roland Damm" schrieb im Newsbeitrag news:426a902b$0$7521$ snipped-for-privacy@newsread2.arcor-online.net...

für sehr kleine x - und davon ist hier auszugehen - ist sin(x) =x (ungefähr). Also nix Numerik...