Dekonvolution von Mittelwerten

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Moin,
ich hatte kürzlich eine Datenreihe gefunden, die jeweils aus dem Mittelwert dreier aufeinanderfolgender Meßwerte einer Ursprungsreihe,
die nicht mitgeteilt wurde, besteht. Theoretisch kommt man an die Ur-Werte, wenn man mit
G(z) = ... + z^4 - z^3 + z^1 - 1 + z^-1 - z^-3 + z^-4 ...
faltet (ergibt sich aus der Entwicklung von 3/(z+1+z^-1) nach 1/z um Null).
Das ist natürlich unpraktisch, weil es eine unendliche Koeffizientenfolge ohne absolute quadratische Konvergenz der Summenreihe ist. Daher wäre es wohl sinnvoll, die Koeffizientenfolge mit einer endlichen symmetrischen Fensterfunktion zu multiplizieren, die zum Rand hin abklingt (wie z. B. die Sinc-Funktion).
Was bietet sich denn da als Lösung an?
(Klar: Sich an den Autor wenden und nach den Originaldaten fragen - weiß ich auch. Es ist aber auch ein durchaus praktisches Problem, nämlich die Dekonvolution eines Rechteckfensters, wie sie z. B. auftritt, wenn man den schärferen Verlauf eines Spektrums kennen möchte, das durch einen breiten Spalt erzeugt wurde.)
Gruß aus Bremen Ralf
--
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Hallo, Ralf,
Du (me) meintest am 17.06.07:

Gleichstrom oder Wechselstrom, drahtgebunden oder drahtlos?
Viele Gruesse! Helmut
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begin quoting, Helmut Hullen schrieb:

Kommt drauf an: Desktops normalerweise 230 V/50 Hz, Notebooks gewöhnlich mit Gleichstrom.
Du nix kenne Nachrichtentechnik und Signaltheorie?
Gruß aus Bremen Ralf
--
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Hallo, Ralf,
Du (me) meintest am 17.06.07:

Ich kenne den Unterschied zwischen Mathematik und Technik.
Viele Gruesse! Helmut
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begin quoting, Helmut Hullen schrieb:

Offenbar nicht. Also: Nuhr!
Gruß aus Bremen Ralf
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Hallo, Ralf,
Du (me) meintest am 17.06.07:

Lineare Gleichungssysteme sind ein Mathematik-Problem, auch wenn mit ihnen vermaschte Netze berechnet werden können.
Und Addition ist ein Mathematik-Problem, auch wenn sie bei den Kirchhoffschen Regeln benutzt wird.
Viele Gruesse! Helmut
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Ralf Kusmierz wrote:

Also ein Moving-Average Filter.

Das wird nichts. Das Moving-Average-Filter hat Nullstellen in der Übertragungsfunktion, die man nicht mehr kompensieren kann. Das wäre nicht stabil bzw. nicht konvergent.

Üblicherweise wird man einfach die Frequenzen >= 0,3 fsamp vergessen und den Rest rekonstruieren. Die Länge des dazu erforderlichen FIR-Filters hängt eigentlich nur davon ab, wie scharf man um 0,3 fsamp abschneiden möchte. Es gibt natürlich auch hübschere Methoden, die nur die Nullstellen und deren unmittelbare Umgebung übrig lassen. Die Oben genannte Methode läuft aus so etwas hinaus. Allerdings muss man sich dann immer fragen inwieweit das semantisch sinnvoll ist. Außerdem bekommt man bei so langen Filterkernen natürlich Probleme mit den Randbedingungen (Anfang und Ende der Folge). An die Originaldaten kommt man definitiv nicht mehr ran, selbst bei unendlicher Rechengenauigkeit.
Marcel
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begin quoting, Marcel Müller schrieb:

Ja.
Die Nullstellen liegen bei Omega = +/- 2/3*Pi; die sollten nicht stören. (Man kann ohnehin nur den Frequenzgang mit der Bandbreite Pi, also im Intervall +/-Pi/2, ausnutzen - oder liegt hier ein Denkfehler?)

Bitte erklären.

Klar.
Letzteres kann ich nicht so ganz nachvollziehen. Aber letztlich geht es mir um eine praktikable Näherungslösung, die mir mehr Informationen gibt als die MA-Folge.
Ich habe z. B. mal versuchsweise den Filterkern
-0,0874 0,1771 0 -0,3530 0,4335 0 -0,5650 0,6105 0 -0,6486 0,6373 0 -0,5465 0,4656 0 -0,2329 0,0828 0 0,2766 -0,4811 0 0,9248 -1,1568 0 1,6216 -1,8463 0 2,2599 -2,4412 0 2,7359 -2,8437 0 2,9699 -2,9860 2,9699 0 -2,8437 2,7359 0 -2,4412 2,2599 0 -1,8463 1,6216 0 -1,1568 0,9248 0 -0,4811 0,2766 0 0,0828 -0,2329 0 0,4656 -0,5465 0 0,6373 -0,6486 0 0,6105 -0,5650 0 0,4335 -0,3530 0 0,1771 -0,0874
(von -34 bis +34, wobei jeder dritte Koeffizient verschwindet)
berechnet, und die Ergebnisse sehen gar nicht so schlecht aus: Wenn ich als Ausgangsfolge einen Sprung verwende und dann das Filter auf MA(3) davon anwende, dann beträgt die maximale Abweichung 7,8 % - damit kann man durchaus leben. Für mich stellt sich halt die Frage, wie man das ggf. verbessern kann, sowohl hinsichtlich der Genauigkeit als auch hinsichtlich der Länge des Kerns.
Gruß aus Bremen Ralf
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begin quoting, Ralf Kusmierz schrieb:

Er liegt - Marcel hat natürlich völlig recht: Man benötigt den kompletten Frequenzgang von -Pi bis Pi, und der läßt sich an den Polen nun mal nur beliebig genau (was beliebig aufwendig wird), aber eben nicht exakt rekonstruieren.

Hat sich erledigt.

[...]
Ich habe mir dann mal den Frequenzgang angesehen und festgestellt, daß er den "theoretischen" Frequenzgang
3 G(omega) = ---------------- 1 + 2*cos(omega)
schon ganz ordentlich approximiert; inzwischen weiß ich aber, wie man an bessere Näherungen kommt.
Vielen Dank für die Rückmeldungen!
Gruß aus Bremen Ralf
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Ralf Kusmierz schrieb:

Wenn es sich um den Mittelungsalgorithmus um eine Transformation aus einem N-dim Raum in einen N-dim Raum handelt, besteht eine Chance, daß die Transformation bijektiv ist.
Wird aber aus N Messwerten auf N-2 Mittelwerte transformiert, dann gibt es keine Umkehrabbildung.
Für eine Rücktransformation muss aber die Transformation bekannt sein. Es gibt verschiedene Möglichkeiten aus N Messwerten N Mittelwerte zu erhalten:
Variante 1:
M_i = (O_i-1 + O_i + O_i+1)/3 mit O_null = 0 und O_N+1 = 0
Variante 2:
M_i = (O_i-2 + O_i-1 + O_i)/3 mit O_i-2=O_i-1 = 0
etc.
Dann läßt sich die Rücktrafo ermitteln.
Viele Grüße Andreas
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begin quoting, Andreas Demant schrieb:

Selbst, wenn es theoretisch eine exakte Umkehrabbildung gäbe, würde das natürlich nichts helfen: Es handelt sich um echte, also wahrscheinlich leicht "verrauschte" Meßwerte (was wohl der Anlaß zur MA-Verwendung war, damit die "gemittelten" Werte nicht so "herumzappeln"), und beim Mitteln hat es sicher auch noch Rundungsfehler, also zusätzliches Rauschen, gegeben.
Es können also bei der Dekonvolution bestenfalls "tendenziell richtige" Urwerte herauskommen. Das IMHO einzig richtige Vorgehen ist schon, die Umkehrfunktion des MA-Frequenzgangs zu approximieren, bloß: Wie macht man das am gescheitesten? Eine exakte FIR-Lösung dafür gibt es nicht.
Gibt es etwas Besseres als den von mir gefundenen Filterkern, oder ist der in dem Sinne "gut genug", daß kaum Verbesserungen zu erwarten sind?
Gruß aus Bremen Ralf
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