Schwingungslehre: Eigenkreisfrequenz bei D>1

Hallo,
ich überlege jetzt schon recht lange und habe auch schon das Internet abgesucht, aber ich komm nicht auf die Lösung: Ich habe eine Übertragungsfunktion mit s^2 im Nenner und untersuche die Pole. Es gibt ja immer zwei. Sind sie konjugiert komplex, so ist der Realteil die Abklingkonstante sigma und der Imaginärteil die gedämpfte Eigenkreisfrequenz omega. Ziel ist die Bestimmung von ungedämpfter Eigenkreisfrequenz omega0 und Dämfungsgrad D.
Das geht mit:
sigma = real(pol1) omega = imag(pol1) omega0 = sqrt( sigma^2 + omega^2 ) D = -sigma / omega0
Für Pol2 kommt dann dasselbe raus. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Was ist aber, wenn die Pole auf der reellen Achse liegen? Müsste dann nicht für sigma gelten:
sigma = (pol1+pol2) / 2
Sigma muss in der Mitte liegen, da die Nullstellen des char. Polynoms der Form
s12 = -sigma + - sqrt(...)
vorliegen. Die Pole schreibt man ja auch in der Form s12 = -sigma + - j*omega Wenn aber s12 real ist, muss omega logischerweise rein imaginär sein. Für den Betrag müsste dann gelten:
| omega | = | pol1-pol2 | / 2
Dann steht in der Berechnung für omega0: omega0 = sqrt( sigma^2 + omega^2 ) (wie oben) <=> omega0 = sqrt( sigma^2 - |omega|^2 )
omega0 ist also nicht immer real. Das verstehe ich nicht. Dann kann ja auch eine imaginäre Dämpfung rauskommen. Wenn ich mir die Pole mit Matlab berechnen lasse, bekomme ich zwei verschiedene omega0 aber für die Dämpfung immer nur maximal eine Eins. Es gibt doch auch Dämpfungen größer Eins.
Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand einen Hinweis gegben könnte, wo der Denkfehler steckt, bzw.sagt, wie es richtig geht.
Viele Grüße Stefan

X-No-Archive: Yes
begin quoting, snipped-for-privacy@gmx.de schrieb:
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Kommt nicht vor: Dann ist das System nicht stabil (bzw. Du hast Dich verrechnet).
All poles into the left half plane!
(sagte der Pilot des Warschauer Ferienfliegers lt. black box, als sich Fluginstabilitäten berkbar machten ...)
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Gruß aus Bremen Ralf

X-No-Archive: Yes
begin quoting, Ralf Kusmierz schrieb:
  Quoted Text Here  
^me
Gruß aus Bremen Ralf

  Quoted Text Here  
Wohl kaum. Ich meinte die reelle Achse, und nicht die positive reelle Achse. Instabilitäten treten nur in der rechten Halbebene auf. Pole mit Imaginärteil = 0 bedeuten lediglich, dass das System nicht schwingungsfähig ist. Mal ganz abgesehen davon, kannst du doch nicht sagen ich hätte mich verrechnet, wenn ich ein instabiles System herausbekomme. Wenn das immer so wäre gäbe es ja gar keine Instabilitäten. Es gibt aber auch Systeme, die von Natur aus instabil sind (Beispiel:inverses Pendel).
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X-No-Archive: Yes
begin quoting, snipped-for-privacy@gmx.de schrieb:
  Quoted Text Here  
Ja, sorry, da hatte ich zu flüchtig gelesen und im Geiste "imaginäre" anstatt "reelle" Achse aufgefaßt - vergiß das Argument.
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Genau, das ist dann die Antwort. (Wie war die Frage?)
  Quoted Text Here  
(Im s-Bereich sind die gar nicht instabil.) Doch: Hinter der Systemstabilität steckt der Energiesatz - passive Systeme haben immer nur Pole in der linken Halbebene, und bei Oszillatoren (=Generatoren) wandern sie aufgrund von Nichtlinearitäten auf die imaginäre Achse, so daß sie dann mit konstanter Amplitude schwingen.
Ok: Es gibt den Fall, daß man eine instabile Strecke durch einen geeigneten Regler stabilisiert, so daß der geschlossene Regelkreis dann stabil ist. Das kommtaber eigentlich nur in diesem sehr speziellen Zusammenhang vor.
(Bitte vermeide überflüssige Fullquotes.)
Gruß aus Bremen Ralf

Hallo,
lass uns drei Fälle unterscheiden:
1. Fall D<1 Für diesen Fall erhält man ein konjugiert komplexes Polpaar mit s12 - sigma +- j * omega wobei omega = omega0 * sqrt(1-D²) ist.
2. Fall D=1 Für diesen Fall erhät man eine Doppelwurzel, bzw. s1=s1=-sigma. Das System hat keine Eigenfrequenz!
3. Fall D>1 Für diesen Fall erhält man nur reelle Nullstellen s12 = -sigma +- omega0 * sqrt(D²-1). Eine Eigenfrequenz omgea und eine Eigenfrequenz des ungedämpften Systems omega0 existieren auch in diesem Fall nicht!
Fazit die Definition der Eigenfrequenzen und Eigenkreisfrequenzen hängt davon ab ob es ein schwingungsfähiges System ist. Nicht schwingungsfähige Systeme haben keine Eigenfrequenzen.
Gruß Marco

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Danke für deine Antwort. Klingt weitgehend plausibel, aber: Nehmen wir an, ich habe ein Pendel und es gäbe keine Verluste. So schwingt es mit der ungedämpften Eigenfrequenz omega0. Dämpfe ich die Pendelbewegung, so bleibt omega0 unverändert. Denn es ist die Frequenz, mit der das Pendel schwingen würde, wenn es nicht gedämpft wäre. Allerdings gilt für die tatsächlich vorhandene Frequenz omega < omega0. Schraube ich die Dämpfung weiter rauf, so ist das System irgendwann nicht mehr schwingungsfähig. Omega existiert real nicht mehr (bzw. ist imaginär)-->keine Schwingung. Das omega0 muss aber eigentlich immer noch den gleichen Wert haben wie am Anfang. Mit dem imaginären omega erhalte ich dann auch einen Dämpfungsgrad > 1 (siehe erster Beitrag). Das ist einleuchtend. Gäbe es beide Frequenzen nicht (wären sie also ganz einfach für den Kriechfall nicht definiert), könnte man auch kein D ausrechnen. Es gäbe folglich keine Systeme mit D>1. Weiterhin: Eine weitere Erhöhung der Pendeldämpfung nach Überschreiten der Schwingungsgrenze, würde D nicht mehr erhöhen bzw. dürfte D auch nicht definiert sein. Oder wie würdest du in diesem Fall D berechnen?
Viele Grüße Stefan.

Hallo Stefan,
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Das omega0 existiert ja auch noch nur als Koeffizient vor dem Term der Ggl. ohne Ableitung, beim Pendel ist omega0 sqrt(g/l). Ist D<1 so entspricht dieser Wert halt der Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systems. Ist D>=1 ist es halt nur noch ein Wert der die Lösung der Dgl. bestimmt nur heißt er nicht mehr Eigenkreisfrequenz des ungedäpften Systems.
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Das Lehrsche Dämpfungsmaß D ist doch nur eine dimensionslos gebildete Größe. In ihr sind nur die Parameter Masse, Elastizität und Dämpfung (Translationsschwinger) so untergebracht, dass sich die Einheiten rauskürzen. Wenn ich eine Größe c/m = omega0 aus D ausklammern kann, heißt das nicht, dass D bei D>1 nicht existiert da die physikalischen Parameter c, m, k natürlich auch bei D>1 noch existieren. Du mußt das so verstehen: D ist eine aus den realen Parametern des phy. Systems gebildete Rechengröße die die Beschreibung angenehm macht. Der Begriff Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems und der Begriff Eigenkreisfrequenz hat nur bei schwingungsfähigen Systemen die Bedeutung einer Frequenz.
Gruß Marco
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Ok. Also omega0 existiert zwar noch als Zahlenwert, wird aber nicht mehr die ungedämpfte Eigenfrequenz genannt. Der Zahlenwert selbst ist aber nach wie vor in gleicher Weise bedeutend für das Systemverhalten. Meine Gleichungen sind demnach richtig, nur dass man es nicht mehr Eigenfrequenz nennen darf. Ich denke dass ist ein ganz guter Kompromiss zwischen unseren Sichtweisen, oder?
Viele Grüße, Stefan.

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Ja, deine Gleichungen sind richtig! Meine Sichtweise oder die allgemeine Sichtweise eines Schwingungstechnikers ist auch kein Dogma sondern dient nur zum gemeinsamen Verständnis der beteiligten Gesprächspartner untereinander. Du kannst dir natürlich für einen beliebigen Sachverhalt dein eigenes mathematische Gebäude errichten. Einige Axiome, einige Defintionen und fertig ist die Laube. Wenn du diese Laube aber mit jemanden gemeinsam bewohnen möchtest sollte man eine gemeinsame Sprache sprechen - nicht mehr und nicht weniger. Für welchen Zusammenhang benötigst du denn diese Berechnungen?
Gruß Marco

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Ich untersuche, wie sehr sich ein eine bestimmte Parameteränderung auf das Systemverhalten auswirkt. Als charakteristische Größen des Systems (Fahrzeug) verwende ich unter anderem omega0 und D. Das System liegt in der Grundversion relativ dicht an der Schwingungsgrenze. Ich will auch über diese Grenze hinaus omega0 und D berechnen, denn ihre Abweichungen vom Grundwert sind für mich ein Maß für die Systemänderung. Mit meinen Gleichungen erhalte ich einen glatten Verlauf von omega0 und D auch über die Schwingungsgrenze hinweg. Wenn ich die Werte mit der Matlab-Funktion 'damp' berechne, erhalte ich einen Dämpfungsverlauf der auf Eins begrenzt ist. Omega0 hingegen besitzt ab D=1 eine Teilung des Kurvenverlaufs in zwei Äste (und Matlab nennt es trotzdem natural frequnecy). Diese treten sicherlich deshalb auf, weil Matlab die reellen Pole als zwei verschiedene sigmas interpretiert und omega gleich Null setzt. Problem dabei ist, dass ich über diesen Knick und die Verzweigung keinen Toleranzbereich legen kann. Denn ab da handelt es sich ja nun wirklich nicht mehr um omga0.
Viele Grüße Stefan