Schwingungslehre: Eigenkreisfrequenz bei D>1

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begin quoting, snipped-for-privacy@gmx.de schrieb:

Kommt nicht vor: Dann ist das System nicht stabil (bzw. Du hast Dich verrechnet).

All poles into the left half plane!

(sagte der Pilot des Warschauer Ferienfliegers lt. black box, als sich Fluginstabilitäten berkbar machten ...)

Gruß aus Bremen Ralf

X-No-Archive: Yes

begin quoting, Ralf Kusmierz schrieb:

^me

Gruß aus Bremen Ralf

Wohl kaum. Ich meinte die reelle Achse, und nicht die positive reelle Achse. Instabilit=E4ten treten nur in der rechten Halbebene auf. Pole mit Imagin=E4rteil =3D 0 bedeuten lediglich, dass das System nicht schwingungsf=E4hig ist. Mal ganz abgesehen davon, kannst du doch nicht sagen ich h=E4tte mich verrechnet, wenn ich ein instabiles System herausbekomme. Wenn das immer so w=E4re g=E4be es ja gar keine Instabilit=E4ten. Es gibt aber auch Systeme, die von Natur aus instabil sind (Beispiel:inverses Pendel).

Hallo,

lass uns drei F=E4lle unterscheiden:

1=2E Fall D1 F=FCr diesen Fall erh=E4lt man nur reelle Nullstellen s12 =3D -sigma +- omega0 * sqrt(D=B2-1). Eine Eigenfrequenz omgea und eine Eigenfrequenz des unged=E4mpften Systems omega0 existieren auch in diesem Fall nicht!

Fazit die Definition der Eigenfrequenzen und Eigenkreisfrequenzen h=E4ngt davon ab ob es ein schwingungsf=E4higes System ist. Nicht schwingungsf=E4hige Systeme haben keine Eigenfrequenzen.

Gru=DF Marco

Danke f=FCr deine Antwort. Klingt weitgehend plausibel, aber: Nehmen wir an, ich habe ein Pendel und es g=E4be keine Verluste. So schwingt es mit der unged=E4mpften Eigenfrequenz omega0. D=E4mpfe ich die Pendelbewegung, so bleibt omega0 unver=E4ndert. Denn es ist die Frequenz, mit der das Pendel schwingen w=FCrde, wenn es nicht ged=E4mpft w=E4re. Allerdings gilt f=FCr die tats=E4chlich vorhandene Frequenz omega < omega0. Schraube ich die D=E4mpfung weiter rauf, so ist das System irgendwann nicht mehr schwingungsf=E4hig. Omega existiert real nicht mehr (bzw. ist imagin=E4r)-->keine Schwingung. Das omega0 muss aber eigentlich immer noch den gleichen Wert haben wie am Anfang. Mit dem imagin=E4ren omega erhalte ich dann auch einen D=E4mpfungsgrad > 1 (siehe erster Beitrag). Das ist einleuchtend. G=E4be es beide Frequenzen nicht (w=E4ren sie also ganz einfach f=FCr den Kriechfall nicht definiert), k=F6nnte man auch kein D ausrechnen. Es g=E4be folglich keine Systeme mit D>1. Weiterhin: Eine weitere Erh=F6hung der Pendeld=E4mpfung nach =DCberschreiten der Schwingungsgrenze, w=FCrde D nicht mehr erh=F6hen bzw. d=FCrfte D auch nicht definiert sein. Oder wie w=FCrdest du in diesem Fall D berechnen?

Viele Gr=FC=DFe Stefan.

Hallo Stefan,

Das omega0 existiert ja auch noch nur als Koeffizient vor dem Term der Ggl. ohne Ableitung, beim Pendel ist omega0 sqrt(g/l). Ist D=3D1 ist es halt nur noch ein Wert der die L=F6sung der Dgl. bestimmt nur hei=DFt er nicht mehr Eigenkreisfrequenz des unged=E4pften Systems.

Das Lehrsche D=E4mpfungsma=DF D ist doch nur eine dimensionslos gebildete Gr=F6=DFe. In ihr sind nur die Parameter Masse, Elastizit=E4t und D=E4mpfung (Translationsschwinger) so untergebracht, dass sich die Einheiten rausk=FCrzen. Wenn ich eine Gr=F6=DFe c/m =3D omega0 aus D ausklammern kann, hei=DFt das nicht, dass D bei D>1 nicht existiert da die physikalischen Parameter c, m, k nat=FCrlich auch bei D>1 noch existieren. Du mu=DFt das so verstehen: D ist eine aus den realen Parametern des phy. Systems gebildete Rechengr=F6=DFe die die Beschreibung angenehm macht. Der Begriff Eigenkreisfrequenz des unged=E4mpften Systems und der Begriff Eigenkreisfrequenz hat nur bei schwingungsf=E4higen Systemen die Bedeutung einer Frequenz.

Gru=DF Marco

Ok. Also omega0 existiert zwar noch als Zahlenwert, wird aber nicht mehr die unged=E4mpfte Eigenfrequenz genannt. Der Zahlenwert selbst ist aber nach wie vor in gleicher Weise bedeutend f=FCr das Systemverhalten. Meine Gleichungen sind demnach richtig, nur dass man es nicht mehr Eigenfrequenz nennen darf. Ich denke dass ist ein ganz guter Kompromiss zwischen unseren Sichtweisen, oder?

Viele Gr=FC=DFe, Stefan.

Ja, deine Gleichungen sind richtig! Meine Sichtweise oder die allgemeine Sichtweise eines Schwingungstechnikers ist auch kein Dogma sondern dient nur zum gemeinsamen Verst=E4ndnis der beteiligten Gespr=E4chspartner untereinander. Du kannst dir nat=FCrlich f=FCr einen beliebigen Sachverhalt dein eigenes mathematische Geb=E4ude errichten. Einige Axiome, einige Defintionen und fertig ist die Laube. Wenn du diese Laube aber mit jemanden gemeinsam bewohnen m=F6chtest sollte man eine gemeinsame Sprache sprechen - nicht mehr und nicht weniger. F=FCr welchen Zusammenhang ben=F6tigst du denn diese Berechnungen?

Gru=DF Marco

X-No-Archive: Yes

begin quoting, snipped-for-privacy@gmx.de schrieb:

Ja, sorry, da hatte ich zu flüchtig gelesen und im Geiste "imaginäre" anstatt "reelle" Achse aufgefaßt - vergiß das Argument.

Genau, das ist dann die Antwort. (Wie war die Frage?)

(Im s-Bereich sind die gar nicht instabil.) Doch: Hinter der Systemstabilität steckt der Energiesatz - passive Systeme haben immer nur Pole in der linken Halbebene, und bei Oszillatoren (=Generatoren) wandern sie aufgrund von Nichtlinearitäten auf die imaginäre Achse, so daß sie dann mit konstanter Amplitude schwingen.

Ok: Es gibt den Fall, daß man eine instabile Strecke durch einen geeigneten Regler stabilisiert, so daß der geschlossene Regelkreis dann stabil ist. Das kommtaber eigentlich nur in diesem sehr speziellen Zusammenhang vor.

(Bitte vermeide überflüssige Fullquotes.)

Gruß aus Bremen Ralf

Ich untersuche, wie sehr sich ein eine bestimmte Parameter=E4nderung auf das Systemverhalten auswirkt. Als charakteristische Gr=F6=DFen des Systems (Fahrzeug) verwende ich unter anderem omega0 und D. Das System liegt in der Grundversion relativ dicht an der Schwingungsgrenze. Ich will auch =FCber diese Grenze hinaus omega0 und D berechnen, denn ihre Abweichungen vom Grundwert sind f=FCr mich ein Ma=DF f=FCr die System=E4nderung. Mit meinen Gleichungen erhalte ich einen glatten Verlauf von omega0 und D auch =FCber die Schwingungsgrenze hinweg. Wenn ich die Werte mit der Matlab-Funktion 'damp' berechne, erhalte ich einen D=E4mpfungsverlauf der auf Eins begrenzt ist. Omega0 hingegen besitzt ab D=3D1 eine Teilung des Kurvenverlaufs in zwei =C4ste (und Matlab nennt es trotzdem natural frequnecy). Diese treten sicherlich deshalb auf, weil Matlab die reellen Pole als zwei verschiedene sigmas interpretiert und omega gleich Null setzt. Problem dabei ist, dass ich =FCber diesen Knick und die Verzweigung keinen Toleranzbereich legen kann. Denn ab da handelt es sich ja nun wirklich nicht mehr um omga0.

Viele Gr=FC=DFe Stefan