+---R1----+-----R2---+ | | | | C | | | |
+---R3----+-----R4---+ | | i |
Jetzt bin ich auf der Suche nach einer Funktion für die Spannung an der Kapazität in Abhängigkeit von dem Strom, der in die Schaltung fließt. Erste Idee war R1,R2,C1 bzw. R3,C1,R4 in eine 3-Eck-Schaltung zu transformieren, ich bin aber eher auf der Suche nach einer Differentialgleichug, die dieses System beschreibt, also die Richtung: uc' = uc ... usw. usw.
Hat jemand einen Tipp, der mich auf den richtigen Weg bringt?
Aber ein Weg ist IMO, mit Impedanzen zu rechnen. Also aus R1 wird Z1 - nicht mehr als eine Änderung der Namensgebung. R2, R3... ebenso. Nur das C wird zu einem - nennen wir es Z_c - von: Z_c = 1/(i*omega*C).
(mit i=sqrt(-1) und omega=Kreisfrequenz des angelegten Wechselstroms)
Jetzt sind alle R's und das C zu Z's geworden. Die Spannung an einem Bauteil mit der Impedanz Z beträgt natürlich: U=Z*i.
Nun kann man die Spannung am Kondensator formell genauso berechnen, wie man es täte, wenn das nur ein Widerstand währe (also wie du erwähntest, Dreieck,.....).
Ergebnis ist eine Funktion Uc(i, omega) die komplex ist. Damit kann man das Verhalten der Schaltung vollständig beschreiben.
Via DGL:
Nun ja, Knoten und Maschenregel, Kirchhoffsche Gesetzt,... nur mit dem Unterschied, dass U_c=int i_c/C ist. Oder auch i_c = dU_c/dt*C.
Damit alle wie gewohnt durchrechnen. Dann sollte am Ende statt (wie bei reinen Widerstandsnetzwerken üblich) nicht ein u=(irgendwas)*i herauskommen, sondern ein u=(irgendwas)*i + (irgendwas)*di/dt oder so halt.
Die beiden Ansätze sind mathematisch äquivalent. Aus einer der als Lösung möglichen Mehrtormatrizen läßt sich durch inverse Laplacetransformation ganz schematisch das DGl.-System herleiten.
Bzw. Z_c = 1/(s*C), wenn man zwecks Laplacerei das Ergebnis in gebrochen rationalen Polynomen in s haben möchte.
Alles Jacke wie Hose - Multiplikation mit s ist im Zeitbereich halt eine Differentiation, Division durch s entsprechend eine Integration, also schreibt man die Systemfunktion
G(s) = u_C(s)/i(s)
hin, multipliziert mir dem Hauptnenner durch und hat direkt das DGlg.-System dastehen - ein Blick auf die Anfangsbedingungen, und fertig.
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