Hallo Leute,
ich beschäftige mich zur Zeit hobbymäßig mit Finite-Elemente-Methoden und habe auch schon einige Erfolge vorzuweisen (Lösung des bernouilli-problems mit splines zB, und verstehen der Lösung der komplizierteren Gleichung f''(x)=-f(x) - hab ich jedoch nicht implementiert), verzweifele jedoch derzeit geringfügig an den Euler-Gleichungen.
Die Euler-Gleichungen enthalten ja einen Term, der aussieht wie:
(u.nabla)u
Wobei ich das äußere Produkt als Kreuzprodukt lese, was hoffentlich richtig ist. Insgesamt kommen da also zeilen raus wie:
... + u_1*(du_1/dx_1)+u_2*(du_1/dx_2)+u_3*(du_1/dx_3) + ... = ...
Die uninteressanten anderen Terme hab ich jetzt erstmal weggelassen.
Das Problem was ich habe ist nun, dass diese Terme nichtlinear sind.
Ich müßte ja jetzt u durch eine endlichdimensionale basis darstellen, und die innenprodukte mit denselben Basisfunktionen (-müssen- es eigentlich dieselben sein?) ermitteln, und alle sich ergebenden Gleichungen lösen. Wie das mit nichtlinearen gleichungen funktionieren soll, ist mir unklar.
Die Suche nach "linearisierten" euler-gleichungen findet entweder Betriebswirte, die eine völlig andere Schiene fahren oder aber Herleitungen der Spezialfälle (wellengleichung, inkompressible fluide etc.) - die mich aber in dem Fall gerade nicht interessieren.
Die wikipedia schweigt sich trotz der sonst ausführlichen behandlung leider absolut darüber aus - dort wird nur das Bernoulli-Problem behandelt, und das hat solche eigenschaften gerade nicht.
Kann mir jemand einen Hinweis geben, wie dieses Problem in der Regel angegangen wird? Oder sagen, was ich übersehe?
Gelegentlich wird eine Taylor-Reihe erwähnt, ich wüßte aber nicht, wie ich eine solche hier einsetzen sollte, und wieso sie dann irgendwie die nichtlinearität beseitigen sollte. So könnte man z.B. die differentialqutienten taylorn, aber die sind ja in jedem Fall proportional zu ihrem jeweiligen koeffizienten - das Problem bleibt da!