Re: Inkompressible Materialien und hydrostatischer Spannungszustand

Lothar Brendel schrieb:
>> Vogel wrote: >>> snipped-for-privacy@mailinator.com wrote in news:a09b5b1a-cb0a-49e8-884b- >>> snipped-for-privacy@l33g2000pri.googlegroups.com: >>> > >> >> >>>> 2) Haben diese Materialien die QUerkontraktionszahl 0,5, haben die >>>> dann immer einen hydrostatischen Spannungszustand, >> >> Nein, warum sollten sie? > > Doch, haben sie.

Nein. (Begründung folgt.)

Damit die Diskussion aber nicht parallel in 2 Foren läuft > verweise ich auf meine Antwort in > de.sci.ing.misc

Die da lautet (und die ich crossposte):

Siehe
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> Die linke, obere 3*3 Teilmatrix von L-1 ist für nue = 1/2 singulär. > Sie hat den kleinsten Eigenwert lam = 0 > und den zugehörigen Eigenvektor (1, 1, 1)

Klaro, sie ist für \nu=1/2 singulär und damit nicht in Gänze invertierbar, was ja auch eine unmittelbare physikalische Bedeutung hat: Wenn die Volumenantwort (also Spur von \epsilon) stets Null ist, unabhängig von der angelegten Spannung, so kriege ich auf die inverse Frage "Welche Spannung brauche ich für eine gegebene Volumenänderung?" keine sinnvolle Antwort (bestenfalls "unendlich"). Und dass das die _einzige_ Invertierung ist, die zusammenbricht (in der oberen 3*3-Teilmatrix von L^{-1} steckt ja noch mehr Information als nur die Volumenantwort), erkennt man daran, dass der Eigenwert 0 nur _einfach_ auftaucht. Und dass es gerade die Invertierung der _Volumenantwort_ ist, die zusammenbricht, erkennt man auch am Eigenvektor ~(1,1,1). So weit, so gut...

Aber... die Singularität der oberen 3*3-Teilmatrix von L^{-1} ficht _überhaupt_gar_nicht_ die _untere_ 3*3-Teilmatrix von L^{-1} an: Jene bleibt auch für \nu=1/2 regulär und koppelt immer noch die Schubspannung an die Scherung.

Es gilt damit > eps_1 = eps_2 = eps_3 = 0 > sig_1 = sig_2 = sig_3

Kannst Du das bitte mal in Strenge vorrechnen?

>>> oder können dort >>>> auch Schubspannungen vorhanden sein? Und wenn ja, warum? >> >> Warum sollte das nicht gehen? Denk an Gummi, kannst Du das ohne >> Kraftaufwand scheren? >> > > s.O.

"Oben" fand sich nichts über ein Zusammenbrechen der Beziehung zwischen Schubspannung und Scherung bei \nu=1/2. Und bist Du _wirklich_ der Meinung, Gummi (mit ziemlich genau \vu=0.5) ließe sich ohne Kraftaufwand scheren?

>> Sagt dir der Begriff "dreidimensionaler Spannungszustand" etwas? >>> Wenn du Material in eine Richtung dehnst, muss dieses wegen der >>> Volumenerhaltung eine Querkontraktion haben, egal ob elastisch oder >>> plastisch. >> >> Volumenerhaltung erfordert sogar streng µ=0.5, ist aber nicht >> zwingend. Ausgeschlossen ist z.B. auch nicht µ=0, wo es keine >> Querkontraktion gibt. Obendrein war das gar nicht die Frage des OPs >> (sondern ob G(µ=0.5)=0 gälte, was nicht zutrifft). > > Nach G hat er nicht gefragt, er hat gefragt, ob bei dem > hydrostatischen Zustand die Schubspannungen 0 sind.

Nein, das hat er _nicht_ gefragt. Er hat gefragt, ob \nu=1/2 zwingend einen hydrostatischen Spannungszustand impliziert, welcher ja definitionsgemäß verschwindende Schubspannungen bedeutet. Und da Schubspannungen immer noch ~G sind, müsste das G=0 implizieren (denn niemand kann ja verbieten, Scherungen anzulegen).

Ciao Lothar