Deformation eines Bogenelementes

Hallo, ich suche eine Herleitung, wie die Deformation einer Luftspule (Helix aus Kupferdraht) unter Einwirkung beliebiger Krfte berechnet werden
kann.
Ich werde die Raumkurve der Spule stckweise durch Polynome beschreiben, bruchte also Biegung und Torsion eines solchen Stckes, um daraus ein Gleichungssystem fr die komplette Spule zu formulieren.
Alles was ich mit meinem begrenzten Wissen zur FEM gefunden habe, ist die Nherung fr einen Balken rechteckigen Querschnitts bei geringer Biegung und den Hinweis, da dieses Ergebnis auch fr Bgen verallgemeinert werden kann, aber wie? Ich komme nicht darauf, wie ich bei der Herleitung die Annahme umgehe, dass das Element nherungsweise linear ist.
Gibt es im Web eine Herleitung, die nicht die Einschrnkung geringer Verformung voraussetzt? Auch wenn nicht direkt stckweise Polynome behandelt werden, knnte es mir schon weiterhelfen.
Gre Arno
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Moin,
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Meistens werden die Drähte der Spule ja von irgendwas gehalten...

Polynome? Aber als Laufvariable doch wohl den Winkel, oder wie? Würde ich zumindest versuchen.

Umrechnung auf runden Querschnitt sollte ja kein Problem sein.

In der Näherung der geraden Balken sehe ich nicht das Problem, die einzelnen Balkensegmente sind dann nur natürlich jeweils unter einem gewissen kleinen Winkel aneinander gehängt. An jedem Verbindungspunkt musst du ja Kräftegleichgewicht aufstellen und das lautet dann natürlich nicht mehr Fx1=-Fx2 oder so, sondern F1 = -M*F2 wobei M dann die Drehmatrix um den kleinen Winkel ist. Die Momente betrifft das ja nicht.
Allerdings können bei so einer Spule schnell signifikante die Geometrie verändernde Verformungen herauskommen. Falls das der Fall ist, musst du wohl iterativ rechnen.
CU Rollo
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Wieso das denn nicht? Die Momentenvektoren müssen auch transformiert werden.

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Ernst Sauer schrub:

Äh, ja. Ich dachte nur an 2D-Probleme aber in 3D hast du natürlich recht.
CU Rollo
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Roland Damm schrieb:

Die Enden (die natrlich von der Helixkurve abweichen - die Helix ist nur eine Approximation) sind auf einer Platine fixiert.

Nein, Laufvariable ist die Bogenlnge. Vielleicht ist die Beschreibung der stckweise gekoppelten Polynome eine umstndliche Umschreibung von Splines, aber unter Splines werden auch diverse andere Kurven verstanden.

Wenn die Gleichgewichtsgeometrie ein Zylinder ist, dann ist es kein Problem. Wenn es aber ein Helixsegment (bzw. Polynom) ist, dann schon.

Meine Beschreibung (fr den Balken) in einem Lehrbuch (Experimentalphysik, nicht Technische Mechanik) geht davon aus, da der deformierte Balken lokal durch einen Kreisbogen (geringer Krmmung) approximiert werden kann. Entweder stehe ich auf dem Schlauch, wie ich das mit Drehmatrizen verallgemeinern kann, oder du gehst von einer anderen Herleitung aus. Kannst du eine Quelle angeben, mglichst im Web?

Genau darum geht es. Die Helixform bleibt nicht erhalten, darum die Beschreibung durch Splines. Was meinst du mit iterativ? Die Lsung des Gleichungssystems aus der FEM-Diskretisierung?
danke Arno
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Ach so, ähnlich. Ich dachte an eine Beschreibung in x/y/z-Koordinaten und da nimmt so eine Helix ja eine eher unangenehme Darstellungsform an.

Der Draht hat doch wohl überall den gleichen Querschnitt und ist obendrein rund. Dann sollte sich ein FEM-Programm nurnoch für die Steifigkeit interessieren, also E*I wobei bei einem runden Querschnitt das I sogar in allen Richtungen gleich ist. Dann sollte es dem Programm auch egal sein, ob du das I eines rechtecks oder eines Kreisquerschnittes eingibst. Es sei denn natürlich, das FEM-Programm ist so intelligent, dass es das nicht erlaubt und von dem Balken Breite und Höhe wissen will. Dann geht das natürlich nicht.

Nee, Quelle kenne ich nicht. Aber ich nehme an, damit ist einfach gemeint, dass der gesamte Bogen (Wicklung, die ganze Helix) aus Geradenstücken zusammengesetzt gedacht werden soll. Jedes Geradenstück ist ein gerader Balken und an den Verbindungsstellen stoßen die Balken unter einem entsprechendem Winkel != 0° zusammen. Also einen Kreisbogen würde man dann einfach wie ein Polygon rechnen bei dem jede Seite ein Balken ist.

Das FEM-Programm wird dir die Verformung infolge der Kräfte errechnen. Jetzt musst du im nächsten Iterationsschritt ein Modell des verformten Bauteils aufstellen und das mit den gleichen Kräften noch mal durchrechnen. Und das mehrmals wiederholen, so lange bis sich am Ergebnis nichts mehr ändert. Das ist zumindest ein Lösungsweg bei solchen Problemen (nämlich einfach hoffen, dass der Weg konvergiert). Konvergiert die Lösung nicht, dann kann das daran liegen, dass sie eben nicht konvergent ist (es auch in einem realen Experiment nicht wäre) oder das man weiter nachdenken muss.
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Roland Damm schrieb:

Da ein wie auch immer gebogener Draht (ohne "Knicke") besser durch Splines bzw. Kreissegmente approximiert werden kann als durch gerade Balken, mchte ich eben erstere als Finite Elemente verwenden, um deren Anzahl gering zu halten.

Nicht ganz. Auch wenn sich die Geometrie ndert, kann das zu lsende Gleichungssystem linear und in einem Schritt lsbar sein. Nichtlineare Gleichungssystem werden natrlich blicherweise iterativ gelst, aber ich suche eigentlich eine Berechnung des Bogenelementes, nicht eine Diskussion numerischer Gleichungslser.
Arno
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Moin,
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Man könnte jetzt ein Ersatzmodell einführen: Jeder Stab wird ersetzt durch ein System aus zwei Stäben die miteinander mit einem Gelenk mit Feder verbunden sind wobei das Gelenk außermittig angeordnet ist:
O | | A------- ---------B
A, B sind die Auflagerpunkte, O das Gelenk. So ein Teil würde auf Druckkraft in Längsrichtung ganz wie ein Kreisbogen mit Momenten an den Lagern reagieren.
Nur stellt sich die Frage, was das bringt. So bringt es nicht mehr, als wenn man einfach mit einfachen Balken rechnen würde, dafür aber die Elementgröße halbieren würde (höhere räumliche Auflösung). Es kann sein, dass der numerische Mehraufwand nicht ins Gewicht fällt gegen den Mehraufwand, ein besseres Modell für die Einzelsegmente zu haben.
Aber: Was passiert denn, wenn das Modell mit den stückweise geraden Balken zu ungenau wird, weswegen wird es denn zu ungenau? Weil man die Verformungen nur an den Knoten kennt, aber auch dazwischen wissen will? Dann hilft nur größere Auflösung. Weil die Veränderung der Geometrie innerhalb eines Balkensegmentes bei Verformung so groß wird, dass das berücksichtigt werden muss? Dann hilft auch nur mehr Auflösung oder ein beschriebener Iterationsprozess.
Man müsste den Fehler ja abschätzen können. Ein gerader Balken würde sich bei Normalkraft geringfügig in der Länge ändern, ein Kreisbogen schon mehr. Ein gerader Balken bringt bei Normalkraft keine Momente auf die Lager, ein Kreisbogen schon. Macht aber erst mal nichts, denn welche Materialspannungen ergeben sich denn?
Welches Biegemoment auf einen Kreisbogen ergibt sich bei Normalkraft im Vergleich zum Biegemoment auf das selbe Segment, wenn es durch Querkraft belastet wird?
Wenn der Kreisbogen ein Halbkreis mit dem Radius r ist, dann ist das maximale Biegemoment infolge Normalkraft (beide Endpunkte werden mit F Richtung Kreismittelpunkt gedrückt) r*F. Biegemoment infolge Querkraft ist 2*r*F. Wenn du diesen Kreisbogen jetzt durch einen geraden Balken der Länge 2*r ersetzen würdest, würde das Biegemoment infolge Normalkraft verschwinden, an dem anderen würde sich nichts ändern. Wenn alle Kräfte ungefähr gleich groß sind, dann hieße das, dass du am Gesamt-Biegemoment 1/3 zu wenig hättest. Also 30% Fehler. Aber das wohlgemerkt, wenn du den Vollkreis durch _2_ Balkensegmente annährst, also eine maximal grobe Näherung.
Wenn du ein FEM-Programm zur Hand hast, kannst du doch einfach mal Halbkreisbögen aus mehr oder weniger vielen Geradensegmenten durchrechnen und Aufschreiben, wie sehr sich das Rechenergebnis (z.B. Durchbiegung bei Vertikallast) über der Segmentanzahl ändert. Ich würde vermuten, dass sich das Ergebnis bei zunehmender Segmentzahl schnell einem Grenzwert annährt. Rein Gefühlsmäßig denke ich, dass schon bei 5 Segmenten pro Halbkreis der Unterschied zum Ergebnis für z.B. 100 Segmente nur noch bei <5% liegt.

Wenn die Änderung der Geometrie in der linearisierten Näherung hinreichend genau erfasst ist.

Es stellt sich die Frage, ob deine Frage (nach einem genaueren Modell für einen Kreisbogen) im Rahmen des Problems überhaupt sinnvoll ist. Es lohnt sich ja nicht an einem Ende der Baustelle unbedingt auf den Promille genau sein zu wollen, wenn man am anderen Ende der Rechnung 1% Fehler einfach hinnimmt.
Ach ja, wenn du die nötigen Formeln für einen geraden Biegebalken herleiten kannst, dann kannst du vielleicht selbiges für einen Balken herleiten, der parabelförmig durchgebogen ist. Geringe Überhöhung natürlich angenommen. Das macht die (Differential-)Gleichungen noch recht überschaubar und führt vielleicht zu einer brauchbaren Näherung. Also Modellannahme Balkenform: y=a*(l^2/4-(x-l/2)^2) [a beschreibt die Überhöhung] und Vereinfachung y'=0, Länge des Balkens =l.
CU Rollo
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Roland Damm schrieb:

wo genau?

was heit "ganz wie"? Kann man die gleichen Eigenschaften begrnden? Wenn Elastizittsmodul und Flchentrgheitsmomemt des Drahtes gegeben sind, wie dimensioniere ich danach dein Ersatzmodell?

Das sehe ich nicht so. Selbst wenn ich, wie bereits vorgeschlagen, gerade Balkenelemente mit festen Winkeln zu einer Art Helix zusammenstckele, bleiben diese Winkel konstant, auch wenn die Spule sonst beliebig gestreckt wird. Dies kann mit deinen Ersatzfedern umgangen werden, allerdings mte dein Modell in die dritte Dimension erweitern werden, da sonst keine Torsionskrfte beschrieben werden. Und dann sind wir bald bei einem Kontinuumsmodel, das wegen begrenzter Rechenzeit ausgeschlossen ist.

s. oben: konstante Knickwinkel unabhngig von der Kraft

das hat dabit nichts zu tun.

Loriot?
Die Frage habe ich mir bereits beantwortet. Du kannst natrlich anderer Ansicht sein, wenn es rein gefhlsmig naheliegt.
Arno
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Moin,
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Rechne aus, wie es dimensioniert sein muss, damit es in hinreichender Näherung das ideale Modell ersetzen kann.

Und?
Na na, ein Kontinuumsmodell ist nach meinen Begriffen noch was anderes.

?
Hast du meinem Gefühl Zahlen entgegenzusetzen?

Ich frage mich, was du willst. Du willst doch die Induktivität einer Spule berechnen. Diese Spule ist in ihren Endpunkten angelötet. Also die Windungszahl kann sich nicht ändern. Die Fläche der Spule nur, wenn sich der Draht dehnt. Wenn sich ein Kupferdraht dehnt, dann geht aber viel den Bach herunter, weil der dehnt sich schnell plastisch. Dann ist deine Rechnung eh den Bach runter. Also entweder ist dein Ansatz unzureichend, weil du plastische Dehnungen so einfach eh nicht berücksichtigen kannst oder er ist völlig irrelevant, weil die berechenbaren Phänomene weit unter den Messunsicherheiten zurücktreten. Welches E-Modul hat z.B. das Kupfer der Spule? Ist das Kupfer gehärtet (falls das geht), wie stark wurde der Draht verbogen bei der Herstellung? Das härtet ihn nämlich auch, ...
CU Rollo
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Roland Damm schrieb:

womit wir wieder bei meinem ursprnglichen Problem wren.

Nein. Deshalb suche ich einen Weg, das Problem numerisch zu lsen und mit einer Messung zu vergleichen, um so Zahlen zu bekommen.

Da EI aufgrund des Fertigungsprozesses variabel ist, mu ich es durch Kalibration aus der Messung bestimmen.
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Moin,
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Ich hatte ja nur vorgeschlagen, einfach einen Kreisbogen mal mit verschiedenen Diskretisierungsauflösungen als Polynom durchrechnen zu lassen und die Ergebnisse zu vergleichen. An den Ergebnissen lässt sich vielleicht ja erkennen, welcher Diskretisierungsgrad also welche Auflösung nötig ist. Wenn z.B. ein 10-Eck schon auf 1% genau das Verhalten eines 1000-Ecks hat, dann kann man daraus schließen, dass ein 10-Eck eben eventuell ausreicht. Außerdem willst du ja nur eine Spule mit ein paar Windungen rechnen. 1000 Balkenelemente sind ja heute schon fast für Handys berechenbar. Oder vermutest du einen systematischen Fehler, der immer da ist, egal welche Rechenauflösung und der seinen Grund in dem unpassenden Modell hat? Einen schlagkräftigen Grund warum es den nicht gibt kann ich dir da auch nicht nennen.

Bei der Messung wirst du auch auf Messfehler und/oder Unbestimmbarkeiten stoßen. Dann wird klar, dass eine Rechnung nur bis hinauf zu einer endlichen Genauigkeit sinnvoll ist.
CU Rollo
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Roland Damm wrote:

Das ist im Prinzip schon möglich. Wenn man z.B. einen parabelförmigen Bogen mit Gleichlast betrachtet, dann gibt es in diesem Bogen keine Biegemomente (Stützlinienbelastung). Diskretisiert man den Bogen als Polynom, dann erhält man Biegemomente. Diese sind zwar klein, wenn aber auch die Biegesteifigkeit sehr klein ist (Draht), dann bekommt man lokale Biegeverformungen, die störend sein können.

Für die vom OP genannten Einzelkräfte vermute ich, dass diese Probleme nicht auftreten, denn die Biege- und Torsionsmomente sind von der Größenordnung F*r und ob man da nun einen etwas größeren oder kleineren Wert für r hat, ist unbedeutend.
Abschätzen kann man das, wenn man das System für eine typische Belastung per Handrechnung durchrechnet. Da treten dann trigonometrischen Funktionen auf, die man koppeln (integrieren) muss. Der OP soll sich einen etwas älteren Statikkollegen suchen, der das noch kann.
Mit Gruß Ernst Sauer
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Ernst Sauer schrub:

Aber diese Biegemomente werden stetig kleiner mit kleineren Elementen. Der Fehler ist sogar gutmütig, weil er quadratisch von der Elementgröße abhängt.
CU Rollo
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Nenne doch bitte mal ein paar Abmessungen: Querschnitt und Länge des Drahtes, Ganghöhe, Durchmesser und Länge der Spule (damit man sich das vorstellen kann).
Ich glaube aber nicht, dass Du mit elementaren Mitteln ein vernünftiges Ergebnis erzielen kannst, denn da müsste man schon sehr viel Gehirnschmalz aktivieren.
Das kannst Du - wenn überhaupt - nur mit einem ausgereiften FEM-Programm für nichtlineare Probleme lösen.
Mit Gruß Ernst Sauer
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Ernst Sauer schrieb:

Eventuell wären Lösungsansätze wie z.B. bei der Berechnung einer Schraubenfeder denkbar.
Gruß Jürgen Brandt
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Ernst Sauer schrieb:

Drahtquerschnitt ca. 1mm Spulenlnge 1cm, 10 Windungen
Es geht um eine Spule in einer HF-Schaltung, deren Induktivittsnderung ich bei thermischen und elektromagnetischen Krften berechnen mchte.

Ich frage nicht nach der Lsung des kompletten Problems, sondern eben nach der Berechnung der Mechanik eines elastischen Drahtstckes.

Bei mir hapert es an der Elastizittstheorie, nicht am FEM-programm, das in Grundzgen existiert und das ich um diese Bogenelemente erweitern mchte. Es geht mir auch um das Verstndnis, nicht blo um die fertige Lsung. Trotzdem knnte ich etwas mit Hinweisen anfangen, wie dieses Problem z.B. mit FreeFEM++ oder OpenFEM und dort vordefinierten Elementen einfacher gelst werden knnte.
Wre es z.B. sinnvoll, die Helix durch stckweise zylindrische Balkenelemente zu ersetzen?
danke Arno
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Das ist zunächst 3-dimensionale Balkenstatik, wobei die entscheidende Frage die ist, welche Verformungs-, Kraft- und Lastgrößen Du berücksichtigen musst bzw. vernachlässigen kannst.
Davon hängt es ab, welchen Aufwand Du betreiben musst. Im ungünstigsten Fall ist eine geometrisch nichtlineare Rechnung an gekrümmten Stabelementen erforderlich, im einfachsten Fall hast Du eine einfache Torsionsfeder mit einem Freiheitgrad.

Wie gesagt, dazu musst Du das Problem genauer spezifiziern.
Mit Gruß Ernst Sauer
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ja, genau danach habe ich wiederholt gefragt. Kannst du Hinweise zur Berechnung dieser Stabelemente geben?

Ein elastischer Kupferdraht mit kreisfrmigem Querschnitt, 1mm Durchmesser, sei am Punkt (x,y,z)(t=0) starr eingespannt. Die Bahnkurve der neutralen Faser ohne Krafteinwirkung sei (x,y,z)(t)=(a2 t^2 + a1 t + a0,b2 t^2 + b1 t + b0,c2 t^2 + c1 t + c0) mit a2...c0=const.
Am Punkt (x,y,z)(t=1) wirke eine kleine Kraft F=(Fx,Fy,Fz). Wie sieht dann die Bahnkurve zwischen t=0..1 aus? Wende gerne alle Vereinfachungen an, die fr eine Lsung notwendig sind. Aber ich wre ernsthaft an einer konkreten Antwort (zum Lsungsweg, nicht notwendig eine fertige Formel) interessiert.
danke Arno
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In der Buchreihe "Der Ingenieurbau" http://www.amazon.de/Ingenieurbau-Grundwissen-Bde-Baustatik-Baudynamik/dp/3433015716 gibt es einen Band über Statik und Dynamik, dort sind Steifigkeitsmatrizen für diverse Balkenelemente zu finden. Ich habe das Buch leider nicht. Wenn ich mich richtig erinnere hatte Rubin in der Zeitschrift der Bauingenieur auch mal einen Beitrag über gekrümmte Balkenelemente.

Du kennst die Bahnkurve und das System ist an einem Ende eingespannt und am anderen Ende frei. Damit ist es statisch bestimmt. Du kannst also die Schnittgrößen in jedem Punkt des Drahtes aus den Gleichgewichtsbedingungen ermitteln (dazu musst Du natürlich die Richtungswinkel in jedem Punkt ermitteln, das sollte aber machbar sein). Anschließend kannst Du mit dem P.d.v.K. in jedem Punkt die Verformungsgrößen ermitteln, das ist aufwendig, aber machbar.
Danach wird es spannend, sind die Verformungen klein, hast Du eine brauchbare Lösung, sind sie groß, musst Du iterieren, am besten so, dass Du die Lasten inkrementell aufbringst. Kommen Stabilitätsprobleme hinzu, wird es grausam.
Mit Gruß Ernst Sauer
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