Wie lassen sich Gew=F6lbetheorien f=FCr Laien verst=E4ndlicher machen?
Ich bin kein Ingenieur, habe aber wichtige Ingenieurthemen aufgegriffen und gute Versuche unternommen, in Ausstel- lungen u.a. dar=FCber zu berichten.
Zur Zeit gr=FCbele ich dar=FCber nach, wie sich Gew=F6lbetheorien f=FCr Laien besser verst=E4ndlich machen lassen. Vielleicht hat je- mand brauchbare Literaturhinweise oder ist schon einmal auf anschauliche Baumodelle gesto=DFen worden, durch die sich solche Zusammenh=E4nge im Denken und Auffassen vereinfachen lassen. Gute Beschreibungen sind auch immer hilfreich. =DCblicherweise darf nicht mit mathematischen Formeln erkl=E4rt werden. Sie k=F6nnen aber gezeigt und auch in einer fachlicheren Erl=E4uterung untergebracht sein.
=DCber eine hilfreiche Diskussion w=E4re ich dankbar. Im Anhang ein Aufsatz den ich zuvor in dsa eingestellt hatte.
Gr=FC=DFe Karl-Ludwig Diehl
Anhang:
------------------ Man beachte, da=DF die Begriffe in =E4lteren Zeiten andere waren, also diese Zusammenh=E4nge aus der Zeit heraus verstanden werden m=FCssen
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Das Deutsche Gew=F6lbemuseum recherchiert: Gew=F6lbetheorien
Wie ergibt sich die Haltbarkeit der Gew=F6lbe? Es haben sich zu dieser Fragestellung sehr verschiedene Gew=F6lbetheorien gebildet. E.Winkler meinte 1879, da=DF sich bis dato "keine Einigung in den Ansichten der Wirkungsweise der Gew=F6lbe" ergeben habe. (1) Daran wird sich vielleicht bis heute wenig ge=E4ndert haben. F=FCr seinen Vortrag in Berlin hatte er die ver- schiedenen Ans=E4tze, die es bis dahin gab, zusammenge- stellt. Wie sich die Gew=F6lbetheorien bis heute weiterent- faltet haben, w=E4re herauszufinden.
In der Einleitung seines Vortrages erl=E4utert er zun=E4chst die St=FCtzlinie:
"Die Stabilit=E4ts-Verh=E4ltnisse eines Gew=F6lbes werden zur klaren Anschauung durch eine Linie gebracht, welche man St=FCtzlinie nennt. Wir verstehen unter St=FCtzlinie diejenige Linie, welche die Durchschnittspunkte der Resultante der in jeder Fuge des Gew=F6lbes wirkenden Dr=FCcke mit dieser Fuge enth=E4lt oder sie verbindet." (2)
Diese St=FCtzlinie geht entweder durch die Mitte der Fuge, das mittlere Drittel der Fuge, oder sie liegt ausserhalb von ihr. Geht sie durch die Mitte der Fuge, verteile sich der Druck im Gew=F6lbe gleichm=E4=DFig, geht sie durch das mitt- lere Drittel, so, meint Winkler, "so vertheilt sich der Druck noch =FCber die ganze Fuge, aber im allgemeinen ungleich- m=E4ssig", liegt die St=FCtzlinie au=DFerhalb des mittleren Drit- tels, so verteile sich der Druck nur =FCber ein St=FCck der Fuge.
Desweiteren erkl=E4rt er, es gebe neben der St=FCtzlinie eine zweite Linie, die deswegen entstehe, weil man sich Kr=E4fte denken m=FCsse, die auf das Gew=F6lbe von au=DFen einwirken, was man sich als ein System von Einzelkr=E4ften vorstellen m=FCsse, die nicht gleichm=E4=DFig verteilt sind. Man habe sich deshalb ein Gelenk-Polygon vorzustellen, das sich im Gleichgewicht befinde, wenn die angegebenen Kr=E4fte auf daselbe wirken. Man nenne dieses Polygon auch das Seil- Polygon, weil es gleichzeitig diejenige Form darstellt, welche ein Seil annehmen w=FCrde, wenn die Kr=E4fte in ent- gegengesetzter Richtung auf daselbe wirkten. Aus dem Seil-Polygon w=FCrde eine Seilkurve, wenn man sich alle Lasten gleichm=E4=DFig verteilt vorstelle. (3)
Neben den Worten St=FCtzlinie und Seil-Kurve seien noch andere Bezeichnungen in Gebrauch, solche wie Mittellinie des Drucks, Richtungslinie des Drucks, Drucklinie, Wider- standslinie, und andere. Manche w=FCrden das Wort St=FCtz- linie und das Wort Seil-Kurve in demselben Sinne gebrau- chen. Mir selbst f=E4llt dazu noch der Begriff Kettenlinie ein. Es sei jedoch so, da=DF eine gewisse Unbestimmt- heit bestehe, wo die St=FCtzlinie im Gew=F6lbe wirklich liegt:
"Bei einem Gew=F6lbe bestimmen die =E4usseren Kr=E4fte also die Form der St=FCtzlinie, doch nicht ihre Lage." (4)
Die =E4u=DFeren Umst=E4nde, welche die Lage der St=FCtzlinie mitbestimmen, sind z.B.
"die Wirkung des Lehrger=FCstes, die Bewegung der Wider- lager, die M=F6rtelkonsistenz etc." (5)
Durch die Belastung eines Lehrger=FCstes mit der aufge- mauerten W=F6lbung verforme sich z.B. das Lehrger=FCst, dadurch entstehe Bewegung an den Widerlagern und der M=F6rtel erfahre unterschiedliche Pressungen, usw. Wenn das Lehrger=FCst weggenommen wird, trete ebenfalls ein neuer Zustand ein. Winkler schl=E4gt deshalb vor, einen Normalzustand des Gew=F6lbes anzunehmen, um =DCberle- gungen anstellen zu k=F6nnen, wo die St=FCtzlinie liegt:
"Wir wollen uns daher einen Zustand des Gew=F6lbes den- ken, bei welchem unmittelbar vor dem Ausr=FCsten zwar noch keine Dr=FCcke in den Fugen existiren, wohl aber alle Fugen vollst=E4ndig geschlossen und die Widerlager absolut unverr=FCckbar sind. Wir nennen diesen Zustand den normalen." (6)
Winkler unterschied 1879, als er die geschichtliche Ent- wicklung der Gew=F6lbetheorien und die verschiedenen Gew=F6lbetheorien behandelte, f=FCnf Gattungen von Theo- rien:
- Die Keiltheorie
- Die Seiltheorie
- Die Kantungstheorie
- Die Theorien nach dem Prinzip der g=FCnstigsten Bean- spruchung
- Die Elastizit=E4tstheorie
Vermutlich hat sich die Theoriebildung bis heute weiter- entwickelt. Da das so sein wird, mu=DF die Zusammenstel- lung erg=E4nzt werden. Es stellt sich nun die Frage, wie lassen sich all diese Gew=F6lbetheorien, die sich Wissen- schaftler ausgedacht haben, welche der Frage nach der Haltbarkeit von Gew=F6lben nachsp=FCrten, so erl=E4utern und die Problemstellung so visualisieren, da=DF sie auch je- der Laie versteht und die Idee der Gew=F6lbetheorie nach- vollziehbar wird.
- Die Keiltheorie
Winkler meint, man ginge bei der Keiltheorie davon aus, da=DF die Steine des Gew=F6lbes gegeneinander nur Gleitbewegungen ausf=FChren k=F6nnten. 1695 habe be- reits de la Hire eine absolut glatte Fuge in halber H=F6he des Gew=F6lbes angenommen und gemeint, das obere St=FCck der W=F6lbung, also das Mittelst=FCck, dr=FCcke auf die unteren seitlichen St=FCcke, wobei das obere Gew=F6l- beteil keilf=F6rmig auf die darunter befindlichen Teile dr=FCcke. Auf dieser Basis habe zun=E4chst auch Couplet
1729 =FCber die Gew=F6lbe theoretisiert.Eytelwein habe 1808 mit seiner Gew=F6lbetheorie darauf aufgebaut, jedoch eine Vermehrung der Fugenzahl an- genommen, soda=DF ein Bild von vielen Gew=F6lbeab- schnitten aufkam, die keilf=F6rmig auf die darunterlie- genden dr=FCcken w=FCrden. Er sei zun=E4chst davon aus- gegangen, diese Fugen seien absolut glatt zu den- ken, aber sp=E4ter habe er auch einen Einflu=DF der Rei- bung in seine Theorie eingebaut. Jedoch sei, wie bei den =E4lteren Keiltheorien, keine St=FCtzlinie angenom- men worden. Obwohl sich bald darauf bessere Ge- w=F6lbetheorien einfanden, habe man dieser Theorie von Eytelwein noch l=E4nger angehangen, so tat es noch 1833 Camerloher. (7)
- Die Seiltheorie
Die Seiltheorie, auch Kettentheorie genannt, setzt voraus, da=DF die Achse des Gew=F6lbes nach der Seil- kurve geformt ist. Und zwar wird davon ausgegangen, da=DF die Schwerpunkte der W=F6lbsteine auf einer Linie liegen, welche ein Gelenkpolygon bei gleich- m=E4ssiger Belastung bilde. Allerdings sei diese Auf- fassung nur bei einem Gew=F6lbe von unendlich gerin- ger Dicke als vollst=E4ndig richtig anzunehmen. Man nehme bei der Seiltheorie an, da=DF bei gro=DFer Ann=E4- herung von Seilkurve und Mittellinie des Gew=F6lbes sich der Druck in allen Fugen gleichm=E4=DFig =FCber die Fuge verteilt, soda=DF sich bei richtiger Formgebung die Abmessung der Gew=F6lbe in ihrer Dicke auf das Optimum verringern l=E4=DFt. Aus diesem Theorieansatz heraus sei es zu sehr zweckm=E4=DFigen Gew=F6lbefor- men gekommen, allerdings habe sich die Theorie nicht =FCberall durchsetzen k=F6nnen. So habe z.B. Scheffler die Meinung verbreitet, die Theorie k=F6nne zu einer Verwirrung der Ansichten =FCber das Gleich- gewicht eines Gew=F6lbes beitragen. Mit der Zeit habe man herausgefunden, da=DF die Seiltheorie nicht "zur allgemeinen Kenntnis der St=FCtzlinie f=FChrt", sie aber trotzdem verwendet, um leichter auf modernere Ans=E4tze von Gew=F6lbetheorien sto=DFen zu k=F6nnen. (8)
Winkler nennt mehrere Autoren, welche der Seil- theorie anhingen: Gerstner (1831) Knochenhauer (1842) Hagen (1844) Joon Villarceau (1846) Schubert (1847) Hoffmann (1853) Schwedler (1859) Ott (1870) Heinzerling (1872) Ritter (1876) Wittmann (1878)
- Die Kantungstheorie
Man setze bei ihr voraus, da=DF sich bei Einsturz des Gew=F6lbes seine Einzelteile um innere oder =E4u=DFere Kanten gewisser Fugen drehen, was also einen Bruch des Gew=F6lbes "in mehrere gegenseitig kan- tende Theile" ergebe. Erste Ideen dazu habe Cou- plet 1730 formuliert, Colomb wiederum habe 1773 aus diesem Ideenansatz eine erste richtiggehend ausformulierte Kantungstheorie gemacht. Diese sei von Audory im Jahre 1820, von Lam=E9 und Clapeyron im Jahre 1823, sowie von Navier 1826 und Mery
1827 weitergef=FChrt worden. Poncelet habe die ana- lytische Behandlung des Kantungsproblems 1835 durch eine geometrische ersetzt.Winkler meint, mit der Kantungstheorie sei man nicht imstande die Lage der St=FCtzlinie herauszu- finden, man wisse daher auch nichts Genaues =FCber die Verteilung des Druckes =FCber die Fugen, aber man sei mit dieser Theorie in der Lage festzustellen, ob ein Gew=F6lbe stabil ist oder einst=FCrzen wird. Sie gebe wichtige Anhaltspunkte f=FCr die Konstruktion des Gew=F6lbes, =FCber die notwendigen Hintermauerun- gen und Auskunft zu den Widerlagern. (9)
Es gebe verschiedene Haupts=E4tze der Kantungs- theorie:
- Eine St=FCtzlinie, welche dem Maximum und dem Minimum des Horizontalschubes entspreche, habe abwechselnd mit der inneren und mit der =E4u=DFeren W=F6lblinie drei Punkte gemein.
- Die St=FCtzlinie entspreche dem Maximum, wenn die beiden =E4u=DFeren Punkte auf der =E4u=DFeren, der mittlere Punkt auf der inneren W=F6lblinie - dem Mini- mum, wenn die beiden =E4u=DFeren Punkte auf der inneren, der mittleren auf der =E4u=DFeren W=F6lblinie liege.
- Bei flachen Gew=F6lben gehe die Maximal-St=FCtz- linie durch die obersten Kanten der K=E4mpferfuge und bei symmetrischer Anordnung durch die unter- ste Kante der Scheitelfuge. Bei Halbkreis- und ge- dr=FCckten Ellipsen-Bogen gehe die Maximal-St=FCtz- linie ebenfalls durch die oberste Kante der K=E4mp- ferfugen, ber=FChre aber in zwei Punkten die innere W=F6lblinie; die Minimal-St=FCtzlinie ber=FChre in zwei Punkten die innere W=F6lblinie (die sogenannten Bruchpunkte) und gehe bei symmetrischer Anord- nung durch die oberste Kante der Scheitelfuge.
- Ein Gew=F6lbe befinde sich im labilen Gleichge- wicht, wenn sich im Gew=F6lbe eine St=FCtzlinie kon- struieren lasse, welche sowohl dem Maximum, als auch dem Minimum des Horizontalschubes entspreche, wenn also die St=FCtzlinie mit den bei- den W=F6lblinien mindestens vier abwechselnd auf der =E4u=DFeren und inneren W=F6lblinie liegende Punk- te gemein habe, soda=DF beim Einst=FCrzen minde- stens drei Teile des Gew=F6lbe gegenseitig kanten. In diesem Falle sei die St=FCtzlinie die einzig m=F6g- liche, weshalb man sagen k=F6nne, es finde ein labiles Gleichgewicht statt, wenn nur eine einzi- ge St=FCtzlinie m=F6glich sei.
- Das Gew=F6lbe sei im stabilen Gleichgewicht, wenn sich eine ganz innerhalb des Gew=F6lbes liegende, die W=F6lblinie nirgends ber=FChrende St=FCtzlinie konstruieren lasse. In diesem Falle sei- en au=DFer dieser St=FCtzlinie nat=FCrlich noch andere innerhalb des Gew=F6lbe liegende St=FCtzlinien m=F6g- lich. (10)
Man habe die Kantungstheorie durch die Theorie nach dem Prinzip des kleinsten Widerstandes er- weitert, nach der laut Mosley, 1833, diejenige St=FCtz- linie die richtige sei, f=FCr welche der Horizontalschub ein Minimum werde. Scheffler habe 1857 diesen Arbeitsansatz erweitert. Nach ihm w=FCrde die wahre St=FCtzlinie mit der =E4u=DFeren und inneren W=F6lblinie mindestens acht Punkte gemein haben. Man m=FCs- se aber ein unpre=DFbares Baumaterial f=FCr das Ge- w=F6lbe annehmen, damit diese wahre St=FCtzlinie an- genommen werden k=F6nne. (11) Ceradini habe den Arbeitsansatz von Scheffler noch weiter verfeinert, was das Aufsuchen der St=FCtzlinie verbessert habe. (12)
- Die Theorien nach dem Prinzip der g=FCnstigsten Bean- spruchung
Hagen, der 1844 und 1862 dazu publizierte, hatte die Idee ausgebreitet, es m=FCsse die St=FCtzlinie gefunden werden, welche das Gew=F6lbesystem mit der gr=F6=DFten Sicherheit st=FCtze. H=E4nel nannte 1868 die St=FCtzlinie als die g=FCnstigste, bei der der spezifische Maximal- druck die unterste Grenze des wirklich m=F6glichen Maximaldruckes habe. Diese St=FCtzlinie sei jedoch nicht die wirkliche St=FCtzlinie im Gew=F6lbe. Im Jahre
1865 behauptet Drouets, die Natur w=FCrde die mole- kularen Widerst=E4nde im beanspruchten Material nur soweit entfalten, als es notwendig ist, zusammen mit den =E4u=DFeren Kr=E4ften ein Gleichgewicht zu erzeu- gen. Folglich m=FCsse man so verfahren, da=DF der gr=F6=DFte vorkommende spezifische Druck ein Mini- mum darstellt. Drouets bezeichnet sein Prinzip als "metaphysisches Prinzip". Es sei von Dupuit wider- legt worden. Durand Claye habe das Drouets'sche Prinzip 1867 sehr eingehend untersucht und dazu eine graphische Durcharbeitung gegeben. (13)Auch Culmann lieferte 1866 Aussagen zu dieser Ge- w=F6lbetheorie:
"Von allen Drucklinien ist diejenige die wirkliche, welche sich der Axe des Gew=F6lbes in der Art am meisten n=E4hert, dass der Druck in den am st=E4rk- sten komprimierten Fugenkanten ein Minimum ist". (14)
Winkler legt ihm das so aus:
"Ist das Gew=F6lbe so schwach und die Widerstands- f=E4higkeit des Materials so gering, dass es nur m=F6g- lich ist, eine einzige St=FCtzlinie einzuzeichnen, wel- che kein Zerdr=FCcken oder Kanten herbei f=FChrt, so ist dieselbe die richtige." (15)
Daraus ergebe sich bei einem Material, das mit der Zeit h=E4rte, keine =C4nderung des Zustandes, was sage, die Lage der St=FCtzlinie sei auch bei festerem Material dieselbe. Winkler macht dazu Scherze. Er weist darauf hin, man habe daf=FCr inzwischen das "Prinzip der Schlauheit des Materials" erfunden. (16)
Zu dieser Theorie nach dem Prinzip der g=FCnstigsten Beanspruchung gibt es weitere Arbeiten von Car- vallo von 1853, von Harlacher im Jahre 1870 und von Ott aus dem Jahre 1871. Ott legte Wert darauf, da=DF die St=FCtzlinie durch die Mitte der K=E4mpfer- und Scheitelfuge geht, damit kein Bruch des Ge- w=F6lbes eintreten kann. Boistard hatte 1822 seine Beobachtungen publiziert, da=DF die Bruchfuge immer nahe an der inneren W=F6lblinie liege, am Scheitel jedoch nahe der =E4u=DFeren St=FCtzlinie sei. Navier meinte 1826, es trete ein Klaffen der W=F6lbung ein, wenn die St=FCtzlinie das mittlere Drittel verlasse. (17)
- Die Elastizit=E4tstheorie
Sie entsprang dem neuen Material Eisen, das sich elastisch verh=E4lt und Formver=E4nderungen erlebt. Man hatte damit auf den Ersatz von Steinbr=FCcken durch Eisenbr=FCcken reagiert. Sp=E4ter hat man er- kannt, das auch das Steinmaterial bei Gew=F6lben als elastisch anzusehen ist. Bauschinger und K=F6p- ke h=E4tten durch spezielle Untersuchungen diese Elastizit=E4t des Steinmaterials nachgewiesen, in- formiert Winkler. Von Navier sei diese Elastizit=E4t bereits angenommen worden, Scheffler habe dies jedoch zur=FCckgewiesen. Zur Zeit der Schrift Wink- lers habe die Elastizit=E4tstheorie jedoch immer mehr Anh=E4nger gefunden. Parallel zu Schwedlers Ver=F6ffentlichungen zum Thema von 1868 und der Vortr=E4ge von Winkler im Jahre 1874 habe Belpaire zur Elastizit=E4tstheorie im Jahre 1877 publiziert. Hoffmann hielt der Elastizit=E4tstheorie von Schwed- ler entgegen, eine einseitige Belastung werde eine Form=E4nderung erstreben, sie werde aber nicht ein- treten, da die Druckfestigkeit des Baustoffes dies verhindere. Winkler h=E4lt dem entgegen, Druckfestig- keit und Elastizit=E4t seien zwei v=F6llig verschiedene Dinge, soda=DF durch diese Kritik von Hoffmann der Wert der Elastizit=E4tstheorie nicht abzuschw=E4chen sei.
Ich frage mich, wie diese Theorie dem Laien an- schaulich gemacht werden kann. Winkler gibt nach mehreren theoretischen =DCberlegungen diese For- mulierung:
"L=E4=DFt sich eine St=FCtzlinie konstruieren, welche mit der Mittellinie zusammen f=E4llt, so wird diese hier- nach die richtige sein," (18)
woraus sich ergebe, da=DF die unter dem Namen Seil-Theorie ausformulierte Methode nahezu die richtige ist, n=E4mlich dann, wenn man der Gew=F6lbe- achse genau die Form der St=FCtzlinie gebe. Die Form des Gew=F6lbes sei vermutlich auch die ratio- nellste, bei welcher bei totaler Belastung die Ge- w=F6lbeachse mit der St=FCtzlinie zusammenfalle. (19) Um die Form der Mittellinie zu bestimmen, sind mehrere statische Verfahren notwendig, aus den- nen sich die Dicke der W=F6lbung ergeben mu=DF, auch um herauszufinden, wie sich innere und =E4u=DFere W=F6lblinie belasten lasssen und wie sich dabei die St=FCtzlinie von der Mittellinie entfernen kann.
Winkler weist nun darauf hin, da=DF alle diese =DCber- legungen, die dazu hinf=FChrten, herauszuarbeiten, da=DF die Elastizit=E4tstheorie die richtige sei, am nor- malen Zustand des Gew=F6lbe abgehandelt wurden. Dieser Zustand gehe aber verloren, sobald das Lehrger=FCst einer W=F6lbung weggenommen werde. Man m=FCsse in der Folge bereits eine Deformation des Lehrger=FCstes schon w=E4hrend der Bauphase an- nehmen, sodann sei davon auszugehen, da=DF die Widerlager des Gew=F6lbes sich nach dem Entfernen des Lehrger=FCstes verschieben werden, au=DFerdem rufe eine Temperaturver=E4nderung, die auf das Ge- w=F6lbe wirkt, Einfl=FC=DFe auf die Gew=F6lbeform hervor. Es entst=FCnde bei diesen St=F6rungen des Ge- w=F6lbes ein Aufklaffen von Fugen. Auf alle diese Auswirkungen sei R=FCcksicht zu nehmen, durch Gelenke, durch offene Fugen, die nach dem Aus- r=FCsten der Schalung geschlo=DFen werden, usw. (20)
Gew=F6lbetheorien, obwohl eine komplizierte Ma- terie, m=FC=DFte man so zur Erkl=E4rung bringen, da=DF sie f=FCr jeden Laien anschaulich werden. Es bleibt die Frage, wie lassen sie sich jedem erkl=E4ren, der sich daf=FCr in einer Ausstellung interessiert. Das da- bei die Entwicklung der Gew=F6lbetheorien bis in un- sere Zeit weiterzuverfolgen ist, ergibt sich von selbst
K.L.
Dieser Text von Karl-Ludwig Diehl wurde in
Anmerkungen: (1) siehe: E.Winkler: Lage der St=FCtzlinie im Gew=F6lbe. S.117-118 in: Deutsche Bauzeitung. Heft Nr.23. Berlin,
1879. S.117f. (2) zitiert aus: E.Winkler, wie vor, S.117 (3) siehe: E.Winkler, wie vor, S.117f. (4)-(6) zitiert aus: E.Winkler, wie vor, S.118 (7)-(8) siehe: E.Winkler, wie vor, S.118 (9)-(11) siehe: E.Winkler, wie vor, S.118 (12) siehe: E.Winkler, wie vor, S.119 (13) siehe: E.Winkler: Lage der St=FCtzlinie im Gew=F6lbe. S.127-130 in: Deutsche Bauzeitung. Heft 25. Berlin, 1879. S.127 (14) Culmann zitiert bei: E.Winkler, wie vor, S.127 (15) zitiert aus: E.Winkler, wie vor, S.127 (16)-(17) siehe: E.Winkler, wie vor, S.127 (18) zitiert aus: E.Winkler, wie vor, S.128 (19) siehe: E.Winkler, wie vor, S.128 (20) siehe: E.Winkler: Lage der St=FCtzlinie im Ge- w=F6lbe. S.58-60 in: Deutsche Bauzeitung. Heft 11. Berlin, 1880. S.58ff.