[Festigkeitslehre] Kragbalken mit veränderlichem Querschnitt

Beim fest eingespannten Kragbalken mit einer Einzellast F am Ende und konstanten I und E ist bekanntlich nach der Annahme von Euler und Bernoulli die Absenkung f am Ende aus einer vergleichsweise einfachen DGL zu berechnen als:

f=3DF*l=B3/(3*I*E)

Wie schaut das aber aus, wenn sich der Querschnitt des Balkens =E4ndert?

Beispiel: Die H=F6he (in Richtung der Kraftangriffslinie gesehen) bleibe weiterhin konstant, jedoch die Breite des Balkens nehme von der Einspannstelle bis zum Kraftangriff konstant ab, so dass der Balken sich in oder aus Richtung des Kraftangriffspunktes als Trapez oder Dreieck darstellt.

Gilt dann die vereinfachende Annahme des (sei es st=FCckweise, delta-x-m=E4=DFig) konstanten Kr=FCmmungsradius immer noch? Muss man dann etwa das Fl=E4chentr=E4gheitsmoment I als Funktion der Schnittvariablen mit in die DGL aufnehmen?

Gibt es da (N=E4herungs-)L=F6sungen und/oder leichtverdauliche Literaturtips f=FCr, die man f=FCr Hand- und =DCberschlagsrechnungen gebrauchen kann?

Wie sieht das im plastischen Falle (da auch noch in Abh=E4ngigkeit der Belastungsgeschwindigkeit) aus?

F=FCr Tips bedankt sich

Mit freundlichen Gr=FC=DFen

Albert Fischer

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fischwurst
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Ja.

Da gibt es verschiedene Möglichkeiten: a) Nach Mohr: man bringt die M/EI-Fläche als Belastung auf, passt die Randbedingungen an und bestimmt die Momente, die dann mit der Biegelinie übereinstimmen b) Mit Hilfe des P.d.v.K.: - man zeichnet die virtuelle M-Fläche - dann die M/EI-Fläche und integriert (koppelt) diese, entweder exakt oder numerisch nach Simpson oder Gauss. c) Man knackt die Dgl. (z.B. mit Maple).

Literatur: Z.B. Helmut Rubin, Analytische Berechnung von Stäben und Stabwerken mit stetig veränderlichen Systemgrößen ... Bautechnik 76 (1999), Heft 4, (aber nicht leicht verdaulich).

Das System ist doch statisch bestimmt, man muss halt die Stelle des Fliessgelenkes suchen.

Mit Gruß Ernst Sauer

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Ernst Sauer

Nachtrag:

die einfachste Lösung, die ich immer anwende, habe ich vergessen: man rechnet mit abschnittsweise konstantem EI.

Mit Gruß Ernst Sauer

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Ernst Sauer

Dann muss man "einfach" integrieren, so wie man es im 2. Semester Mechanik lernt:

Querkraft: Q = int q(x) dx mit q(x)=Streckenlast Biegemoment: M = int Q(x) dx Biegewinkel: phi = -int M(x)/EI(x) dx Durchbiegung: f = int phi(x)

Bei jeder Integration ergibt sich eine Integrationskonstante, die von den Randbedingungen abhängt. Normalerweise ist EI(x) konstant und wird vor die Integration gestellt. In deinem Fall kann man nur E herauslösen und muss über M(x)/I(x) integrieren. Die Integration wird "stückweise" ausgeführt, die Funktionen in der obigen Aufstellung müssen daher nicht stetig sein und sind es in der Regel auch nicht. Such mal in der Literatur nach dem "Föppl-Symbol".

Anselm aus Stuttgart/Esslingen

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Anselm Proschniewski

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